Математика примеры решения задач ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Машиностроительное черчение
Геометрическое черчение
Проекционное черчение
Изучение резьбовых соединений
Соединение деталей
Эскизы и рабочие чертежи деталей
Чтение и детелирование сборочного чертежа
Сборочный чертеж изделия
Графический редактор КОМПАС
Соединение деталей клейкой или пайкой
Начертательная геометрия
Техническая механика
Инженерная графика
Атомная энергетика
Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Метод узлового напряжения
Расчет цепей переменного тока
Пример расчета трехфазной цепи
Решение задач
Лабораторная работа
Лабораторные работы по ТОЭ
Исследование линейной электрической
цепи постоянного тока
Параллельная цепь переменного тока
Трехфазные нагрузочные цепи
Испытание однофазного трансформатора
Испытание генератора постоянного тока
Испытание асинхронного короткозамкнутого
двигателя
Испытание синхронного двигателя
Исследование переходных процессов
Линейная электрическая цепь второго порядка
Исследование полупроводниковых
выпрямителей
Трехфазные выпрямители
Характеристики и параметры биполярных
транзисторов
Исследование усилителя постоянного тока
Исследование усилителя низкой частоты
на транзисторе
Исследование управляемого тиристорного
выпрямителя
Исследование полупроводникового
стабилизатора напряжения
Исследование дешифраторов
Исследование электрических свойств
сегнетоэлектриков
Исследование свойств ферромагнитных
материалов
Температурная зависимость
сопротивления окислов металлов
Исследование электропроводности
полупроводниковых материалов
Математика
Лекции по математике

Вычислить несобственный интеграл

Дифференциальные уравнения (ДУ)

Степенные ряды

Неопределенный интеграл

Несобственный интеграл 1-го рода

Исследовать сходимость интеграла

Основные методы интегрирования

Метод интегрирования по частям

Вычисление площадей плоских фигур

Определенный интеграл и его приложения

Однородные уравнения

Условие Липшица

История искусства
Абстрактное искусство
Романская и готическая архитектура
Архитектура ренессанса
Нотер-Дам-де-Пари
Архитектура Италии
Русское деревянное зодчество
Русское барокко
Судьба советской архитектуры

1. Дифференциальные уравнения (ДУ). Основные понятия и определения.

2. ДУ первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решение (интеграл).

3. ДУ с разделяющимися переменными, однородные ДУ, линейные ДУ первого порядка, уравнение Бернулли.

4. ДУ второго порядка. Задача Коши. Общее и частное решение (интеграл).

5. ДУ второго порядка, допускающие понижение порядка.

6. Линейные однородные ДУ второго порядка. Структура общего решения.

7. Линейные неоднородные ДУ второго порядка. Структура общего решения.

8. Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется соотношение вида

,

Связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию  и ее производные .

 Порядком ДУ называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

 Решением ДУ называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

5.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.

ДУ первого порядка может быть задано:

в общем виде

;

 в разрешенном относительно производной виде

;

 с использованием дифференциалов

.

 Задача Коши для ДУ первого порядка имеет вид

, ,

т.е. из множества решений ДУ требуется выделить то, которое удовлетворяет дополнительному условию . Это условие называют начальным.

 Функция  называется общим решением ДУ первого порядка в области , если:

а) при любом допустимом значении константы С функция  является решением ДУ;

б) для любой точки  существует единственное допустимое значение , такое, что .

 Частным решением ДУ называется любое решение которое может быть получено из общего при конкретном значении постоянной С (включая ).

 Общее решение, заданное в неявной форме

,

называют общим интегралом. При конкретном  равенство

,

задающее неявно частное решение ДУ, называют частным интегралом.

 Рассмотрим некоторые ДУ первого порядка.

 1. ДУ с разделяющимися переменными. ДУ имеет вид

,

если записано через дифференциалы, или

,

если оно разрешено относительно производной.

 Разделив обе части первого уравнения на , получаем ДУ с разделенными переменными

.

 Интегрируя обе части последнего уравнения, получаем общий интеграл исходного ДУ

.

 2. Однородные ДУ первого порядка. В записи через дифференциалы ДУ имеет вид

,

где  – однородные относительно  функции одинакового порядка.

 Замечание. Функция  называется однородной относительно  функцией порядка , если для любого  имеет место .

Если однородное ДУ разрешено относительно производной, то оно имеет вид:

.

 Подстановкой , где  – новая неизвестная функция, однородное ДУ сводится к ДУ с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции .

 3. Линейные ДУ первого порядка. ДУ имеет вид

.

 Общее решение линейного ДУ можно найти с помощью подстановки , где  – новые неизвестные функции. После подстановки ДУ принимает вид

.

 Поскольку одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, то выберем  так, чтобы последнее уравнение упростилось, а именно, чтобы . Для этого в качестве  следует выбрать любое частное решение ДУ с разделяющимися переменными

,

например, . Тогда  находят как общее решение ДУ

,

т. е. . Общее решение исходного уравнения .

 4. Уравнение Бернулли. ДУ имеет вид

,

где . С помощью подстановки  решение уравнения Бернулли, как и решение линейного ДУ, сводится к последовательному интегрированию двух ДУ с разделяющимися переменными.

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения .

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

 Пример . Найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданным начальным условиям

На главную