Математика примеры решения задач РЯДЫ

Машиностроительное черчение
Геометрическое черчение
Проекционное черчение
Изучение резьбовых соединений
Соединение деталей
Эскизы и рабочие чертежи деталей
Чтение и детелирование сборочного чертежа
Сборочный чертеж изделия
Графический редактор КОМПАС
Соединение деталей клейкой или пайкой
Начертательная геометрия
Техническая механика
Инженерная графика
Атомная энергетика
Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Метод узлового напряжения
Расчет цепей переменного тока
Пример расчета трехфазной цепи
Решение задач
Лабораторная работа
Лабораторные работы по ТОЭ
Исследование линейной электрической
цепи постоянного тока
Параллельная цепь переменного тока
Трехфазные нагрузочные цепи
Испытание однофазного трансформатора
Испытание генератора постоянного тока
Испытание асинхронного короткозамкнутого
двигателя
Испытание синхронного двигателя
Исследование переходных процессов
Линейная электрическая цепь второго порядка
Исследование полупроводниковых
выпрямителей
Трехфазные выпрямители
Характеристики и параметры биполярных
транзисторов
Исследование усилителя постоянного тока
Исследование усилителя низкой частоты
на транзисторе
Исследование управляемого тиристорного
выпрямителя
Исследование полупроводникового
стабилизатора напряжения
Исследование дешифраторов
Исследование электрических свойств
сегнетоэлектриков
Исследование свойств ферромагнитных
материалов
Температурная зависимость
сопротивления окислов металлов
Исследование электропроводности
полупроводниковых материалов
Математика
Лекции по математике

Вычислить несобственный интеграл

Дифференциальные уравнения (ДУ)

Степенные ряды

Неопределенный интеграл

Несобственный интеграл 1-го рода

Исследовать сходимость интеграла

Основные методы интегрирования

Метод интегрирования по частям

Вычисление площадей плоских фигур

Определенный интеграл и его приложения

Однородные уравнения

Условие Липшица

История искусства
Абстрактное искусство
Романская и готическая архитектура
Архитектура ренессанса
Нотер-Дам-де-Пари
Архитектура Италии
Русское деревянное зодчество
Русское барокко
Судьба советской архитектуры

РЯДЫ

1. Числовые ряды. Сумма ряда. Действия над сходящимися рядами. Необходимый признак сходимости.

2. Знакоположительные ряды. Достаточные признаки сходимости.

3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

5. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.

 Пусть дана числовая последовательность . Числовым рядом называется выражение вида

 Числа  называют членами ряда,  – общий член ряда.

 Сумму  первых членов ряда называют – ой частичной суммой ряда и обозначают

.

 Если существует конечный предел , то ряд называют сходящимся, а число  называют его суммой. Если последовательность  не имеет конечного предела при , то говорят что ряд расходится.

 Необходимый признак сходимости. Если ряд  сходится, то .

 Следствие (достаточное условие расходимости). Если   или не существует, то ряд   расходится.

 Пример 6.1. Исследовать на сходимость ряды.

а) .

.

Согласно следствию ряд расходится.

б) .

=

.

Согласно следствию ряд расходится.

6.1. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Числовой ряд называется знакоположительным, если его члены .

Рассмотрим некоторые достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

1. Признаки сравнения.

Простой признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных ряда , , причем  для любых . Тогда из сходимости ряда  следует сходимость ряда , а из расходимости ряда  следует расходимость ряда .

Предельный признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных ряда , . Если

, где ,

то ряды сходятся или расходятся одновременно.

 Замечание. При использовании признаков сравнения в качестве рядов, с которыми проводится сравнение исходного ряда, часто используются следующие:

 а) ряд геометрической прогрессии , который сходится при  и расходится при ;

 б) обобщенный гармонический ряд , который сходится при  и расходится при .

Пример 6.2. Исследовать на сходимость ряды.

а) .

 Используем простой признак сравнения. Так как   и ряд  сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем , то исходный ряд также сходится.

б) .

Используем предельный признак сравнения.

 Здесь . Для сравнения возьмем гармонический ряд с общим членом . Тогда

,

т.е. предел конечен и отличен от нуля. Так как гармонический ряд расходится, то исходный ряд также расходится.

2. Признак Даламбера. Пусть дан знакоположительный ряд  и существует конечный или бесконечный предел

.

 Тогда ряд сходится при  и расходится при . При  ряд может как сходится, так и расходится.

 Пример 6.3. Исследовать на сходимость ряд

.

 Применим признак Даламбера

 ,

.

По признаку Даламбера ряд сходится.

Радикальный признак Коши. Пусть дан знакоположительный ряд   и существует конечный или бесконечный предел

 .

Тогда ряд сходится при  и расходится при . При  ряд может как сходится, так и расходится.

Пример 6.4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим признак Коши:

.

По радикальному признаку Коши ряд расходится.

4. Интегральный признак Коши. Пусть дан знакоположительный ряд . Если функция  непрерывна, монотонно убывает на промежутке , и   для любых , то несобственный интеграл   и ряд  сходятся или расходятся одновременно.

Пример 6.5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим интегральный признак Коши. Пусть  –непрерывная, монотонно убывающая на промежутке   функция, .

,

т.е. несобственный интеграл расходится. Следовательно, исходный ряд также расходится.

На главную