Математика примеры решения задач Две задачи математического анализа

Машиностроительное черчение
Геометрическое черчение
Проекционное черчение
Изучение резьбовых соединений
Соединение деталей
Эскизы и рабочие чертежи деталей
Чтение и детелирование сборочного чертежа
Сборочный чертеж изделия
Графический редактор КОМПАС
Соединение деталей клейкой или пайкой
Начертательная геометрия
Техническая механика
Инженерная графика
Атомная энергетика
Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Метод узлового напряжения
Расчет цепей переменного тока
Пример расчета трехфазной цепи
Решение задач
Лабораторная работа
Лабораторные работы по ТОЭ
Исследование линейной электрической
цепи постоянного тока
Параллельная цепь переменного тока
Трехфазные нагрузочные цепи
Испытание однофазного трансформатора
Испытание генератора постоянного тока
Испытание асинхронного короткозамкнутого
двигателя
Испытание синхронного двигателя
Исследование переходных процессов
Линейная электрическая цепь второго порядка
Исследование полупроводниковых
выпрямителей
Трехфазные выпрямители
Характеристики и параметры биполярных
транзисторов
Исследование усилителя постоянного тока
Исследование усилителя низкой частоты
на транзисторе
Исследование управляемого тиристорного
выпрямителя
Исследование полупроводникового
стабилизатора напряжения
Исследование дешифраторов
Исследование электрических свойств
сегнетоэлектриков
Исследование свойств ферромагнитных
материалов
Температурная зависимость
сопротивления окислов металлов
Исследование электропроводности
полупроводниковых материалов
Математика
Лекции по математике

Вычислить несобственный интеграл

Дифференциальные уравнения (ДУ)

Степенные ряды

Неопределенный интеграл

Несобственный интеграл 1-го рода

Исследовать сходимость интеграла

Основные методы интегрирования

Метод интегрирования по частям

Вычисление площадей плоских фигур

Определенный интеграл и его приложения

Однородные уравнения

Условие Липшица

История искусства
Абстрактное искусство
Романская и готическая архитектура
Архитектура ренессанса
Нотер-Дам-де-Пари
Архитектура Италии
Русское деревянное зодчество
Русское барокко
Судьба советской архитектуры

 Первая задача состоит в отыскании производной от заданной функции . Напомним, что с помощью производной решаются многие задачи математики и физики. Так, например, если точка движется по закону , где t – время, а S – пройденный путь, то скорость движения  есть производная от пути по времени, т. е. , а ускорение  равно . Если масса неоднородного стержня изменяется по закону , то его плотность в точке х есть производная . В геометрии с помощью производной решается задача о проведении касательных к заданным кривым. Эти примеры можно продолжить.

 Теперь обратимся к обратной задаче: как по заданной производной восстановить саму функцию ?

 Как, например, зная скорость движения , найти закон изменения пройденного пути ? Как найти массу стержня переменной плотности ? В общем случае задача ставится следующим образом: пусть задана функция , производная от которой совпадает с заданной функцией: . Такая функция   называется первообразной функции . Так, например, если , то , так как . Если , то , так как . Обратите внимание на то, что для заданной функции   первообразных существует бесконечно много, так как  есть некоторая первообразная . Любая функция вида , где , есть также первообразная , так как .

 В силу этого множество всех первообразных заданной функции   принято обозначать символом   и называть неопределенным интегралом от функции . Итак, по определению, .

 Примеры., так как .

 , так как .

 , так как .

Приступая к изучению неопределенного интеграла, следует обратить внимание на то, что

 1) эта операция многозначная;

 2) в техническом отношении интегрирование для студентов представляется более сложным, чем отыскание производных. Чтобы научиться интегрировать, нужна практика. Только решение большого числа разнообразных примеров позволит выработать некоторые навыки в интегрировании;

 3) обратите внимание на запись интеграла. Здесь под знаком интеграла стоит дифференциал аргумента функции . Если же задана сложная функция , где , то все формулы интегрирования имеют смысл только в том случае, когда под знаком интеграла стоит дифференциал . Это обстоятельство нужно иметь в виду постоянно. В формуле  будем подразумевать, что ищется интеграл от сложной функции , где , х – независимая переменная;

 4) существуют шесть тригонометрических функций:

. Последние две функции определяются как величины, обратные по отношению к , т. е. .

Это позволяет известные формулы тригонометрии

 записывать в целом виде:

.

 Таблицы производных и интегралов поэтому имеют более простой вид.  При интегрировании гиперболических функций , ,  следует помнить основные формулы, связывающие их: , а также формулы понижения ;

 5) поскольку операции дифференцирования и интегрирования тесно связаны, ниже приводятся основные свойства производной и формулы дифференцирования, а далее – аналогичный материал, касающийся неопределенного интеграла.

Основные правила дифференцирования

 1. .

 2. независимая переменная.

 3. , где .

 4. , .

 5. ,

.

 6. .

 7. Производная сложной функции. Если , где .

 8. Дифференциал функции. Если .

Таблица производных

 1. Производная степенной функции 

. Частные случаи :  .

 2. Производная показательной функции ,

, так как , так как .

 3. Производная логарифмической функции 

, так как , так как .

 4. Производные тригонометрических функций

;

;

.

 5. Производные обратных тригонометрических функций:

 ,

 .

 6. Производные гиперболических функций:

 

 .

На главную