Математика примеры решения задач Интегралы

Машиностроительное черчение
Геометрическое черчение
Проекционное черчение
Изучение резьбовых соединений
Соединение деталей
Эскизы и рабочие чертежи деталей
Чтение и детелирование сборочного чертежа
Сборочный чертеж изделия
Графический редактор КОМПАС
Соединение деталей клейкой или пайкой
Начертательная геометрия
Техническая механика
Инженерная графика
Атомная энергетика
Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Метод узлового напряжения
Расчет цепей переменного тока
Пример расчета трехфазной цепи
Решение задач
Лабораторная работа
Лабораторные работы по ТОЭ
Исследование линейной электрической
цепи постоянного тока
Параллельная цепь переменного тока
Трехфазные нагрузочные цепи
Испытание однофазного трансформатора
Испытание генератора постоянного тока
Испытание асинхронного короткозамкнутого
двигателя
Испытание синхронного двигателя
Исследование переходных процессов
Линейная электрическая цепь второго порядка
Исследование полупроводниковых
выпрямителей
Трехфазные выпрямители
Характеристики и параметры биполярных
транзисторов
Исследование усилителя постоянного тока
Исследование усилителя низкой частоты
на транзисторе
Исследование управляемого тиристорного
выпрямителя
Исследование полупроводникового
стабилизатора напряжения
Исследование дешифраторов
Исследование электрических свойств
сегнетоэлектриков
Исследование свойств ферромагнитных
материалов
Температурная зависимость
сопротивления окислов металлов
Исследование электропроводности
полупроводниковых материалов
Математика
Лекции по математике

Вычислить несобственный интеграл

Дифференциальные уравнения (ДУ)

Степенные ряды

Неопределенный интеграл

Несобственный интеграл 1-го рода

Исследовать сходимость интеграла

Основные методы интегрирования

Метод интегрирования по частям

Вычисление площадей плоских фигур

Определенный интеграл и его приложения

Однородные уравнения

Условие Липшица

История искусства
Абстрактное искусство
Романская и готическая архитектура
Архитектура ренессанса
Нотер-Дам-де-Пари
Архитектура Италии
Русское деревянное зодчество
Русское барокко
Судьба советской архитектуры

Основные методы интегрирования

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам (если это возможно), называется непосредственным интегрированием.

Рассмотренные в предыдущем пункте примеры были решены именно этим методом.

Весьма эффективным методом интегрирования является метод замены переменной интегрирования (метод подстановки), в результате чего заданный интеграл заменяется другим интегралом. Для нахождения интеграла  можно заменить переменную   новой переменной  связанной с  подходящей формулой  Определив из этой формулы  и подставляя, получим

Если полученный интеграл с новой переменной интегрирования  будет найден, то преобразовав результат к переменной пользуясь исходной формулой  получим искомое выражение заданного интеграла.

Пример 8. Найти интеграл

Решение. Пусть  или  тогда  

Согласно соотношению (1.4)  получаем

Возвращаясь к исходной переменной интегрирования  окончательно получаем:

Можно найти данный интеграл иначе:

пусть  Отсюда     Тогда получим:

Полученные результаты отличаются постоянным слагаемым 2; оба результата правильные, так как, согласно теореме 2, две первообразные от данной подынтегральной функции отличаются на некоторую константу.

Пример 9. Найти интеграл

Решение.

Пусть     

тогда получим

Пример 10. Найти интеграл

Решение. Обозначим  тогда  дифференцируем обе части равенства,    

Пример 11. Найти интеграл

Решение. Берем подстановку   дифференцируем обе части равенства     а так как  тогда  Получаем:

Пример 12. Найти интеграл

Решение. Беря подстановку  получаем  

Подставляем в подынтегральное выражение, интегрируем и возвращаемся к переменной

 Пример 13. Найти интеграл

Решение. Полагаем  тогда      Подставляем в подынтегральное выражение и интегрируем:

Выделим целую часть подынтегральной функции:

тогда 

Найдем  Для этого введем новую переменную    Полученные результаты подставим в подынтегральное выражение и проинтегрируем:

Возвращаясь к данному интегралу, получаем:

Выбор удачной формулы (подстановки) для замены переменной имеет большое значение. Вместе с тем дать одно общее правило для выбора хорошей подстановки невозможно. Освоить применение этого метода интегрирования можно только одним способом – решая как можно больше примеров.

Задания для самостоятельного решения

Найти интегралы:

1.  2.   3.  4.  

5.  6.   7.  8.  9.  10.  11.  12.  

13.  14.   15.  

 16.  17.   18.  

19.  20.  

Ответы. 1.  2.  

3.  4.   5.  6.  7.  8.  

9.  10. 

11.  12.   13.  14.  15.  16.  

17.  18.   19.  20.

Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость. .

Установить, собственным или несобственным является интеграл; если он несобственный, то исследовать его сходимость.

Задача . Вычислить .

Неопределенный интеграл Таблица основных неопределенных интегралов

На главную