Математика примеры решения задач Интегралы

Машиностроительное черчение
Геометрическое черчение
Проекционное черчение
Изучение резьбовых соединений
Соединение деталей
Эскизы и рабочие чертежи деталей
Чтение и детелирование сборочного чертежа
Сборочный чертеж изделия
Графический редактор КОМПАС
Соединение деталей клейкой или пайкой
Начертательная геометрия
Техническая механика
Инженерная графика
Атомная энергетика
Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Метод узлового напряжения
Расчет цепей переменного тока
Пример расчета трехфазной цепи
Решение задач
Лабораторная работа
Лабораторные работы по ТОЭ
Исследование линейной электрической
цепи постоянного тока
Параллельная цепь переменного тока
Трехфазные нагрузочные цепи
Испытание однофазного трансформатора
Испытание генератора постоянного тока
Испытание асинхронного короткозамкнутого
двигателя
Испытание синхронного двигателя
Исследование переходных процессов
Линейная электрическая цепь второго порядка
Исследование полупроводниковых
выпрямителей
Трехфазные выпрямители
Характеристики и параметры биполярных
транзисторов
Исследование усилителя постоянного тока
Исследование усилителя низкой частоты
на транзисторе
Исследование управляемого тиристорного
выпрямителя
Исследование полупроводникового
стабилизатора напряжения
Исследование дешифраторов
Исследование электрических свойств
сегнетоэлектриков
Исследование свойств ферромагнитных
материалов
Температурная зависимость
сопротивления окислов металлов
Исследование электропроводности
полупроводниковых материалов
Математика
Лекции по математике

Вычислить несобственный интеграл

Дифференциальные уравнения (ДУ)

Степенные ряды

Неопределенный интеграл

Несобственный интеграл 1-го рода

Исследовать сходимость интеграла

Основные методы интегрирования

Метод интегрирования по частям

Вычисление площадей плоских фигур

Определенный интеграл и его приложения

Однородные уравнения

Условие Липшица

История искусства
Абстрактное искусство
Романская и готическая архитектура
Архитектура ренессанса
Нотер-Дам-де-Пари
Архитектура Италии
Русское деревянное зодчество
Русское барокко
Судьба советской архитектуры

Основные методы интегрирования

Согласно формуле Ньютона-Лейбница  при вычислении определенного интеграла надо сначала найти первообразную  или неопределенный интеграл а затем вычислить разность  значений первообразной, поэтому таблица неопределенных интегралов, указанная в пункте 1.3. справедлива и для определенных интегралов.

Метод непосредственного интегрирования в определенном интеграле основывается на тождественных преобразованиях подынтегральной функции.

Пример 40. Вычислить интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, используя тождество квадрат суммы двух слагаемых:

Пример 41. Вычислить интеграл

Решение.

Пример 42. Вычислить интеграл

Решение.

Пример 43. Вычислить интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию. Для этого числитель дроби почленно разделим на знаменатель:

Используя свойство 2 определенного интеграла, получим

Рассмотрим каждый интеграл отдельно. Умножим и разделим числитель первой подынтегральной функции на 2:

Согласно соотношению  получим

Во втором интеграле воспользуемся свойством 1:

Значит, данный интеграл равен

При вычислении определенных интегралов широко используются метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

Пусть для вычисления интеграла  от непрерывной функции сделана подстановка

Теорема. Если:

1) функция  и её производная  непрерывны при

2) множеством значений функций  при  является отрезок

3)   тогда

 

 (2.13) 

Формула (2.13) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Отметим, что:

1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;

2) часто вместо подстановки  применяют подстановку

3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.

Пример 45. Вычислить интеграл

Решение. Введем подстановку  тогда    при   при   Получим интеграл

Пример 46. Вычислить интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию

Обозначим  тогда   при   при   Подставляя полученные результаты в данный интеграл, получим

Пример 47. Вычислить интеграл

Решение. Введем подстановку  тогда

  при   при   Тогда получим

Пример 48. Вычислить интеграл

Решение. Пусть ; при  , при  ;

.

Данный интеграл примет вид:

.

Пример 49. Вычислить интеграл .

Решение. Заменяя переменную при помощи подстановки  найдем    при   при  

Подставляя, получим

Пример 50. Вычислить интеграл

Решение. При решении данного интеграла можно воспользоваться универсальной подстановкой  Проверим возможность использования одной из частных подстановок   или  По условию дана рациональная функция относительно  и  

 Данная функция является четной относительно  поэтому подстановкой  воспользоваться не можем.

Функция нечетная относительно , поэтому используем подстановку  тогда  при  при   Данный интеграл примет вид:

Если функции  и  имеют непрерывные производные на отрезке  то имеет место формула

 . (2.14)

Формула (2.14) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле имеет тот же вид, что и в неопределенном интеграле, поэтому все рекомендации для интегралов, берущихся по частям, данные для неопределенных интегралов (пункт 1.4), справедливы и для определенных интегралов.

Пример 51. Вычислить интеграл

Решение. Данный интеграл относится к первой группе интегралов, берущихся по частям, поэтому     тогда согласно формуле (2.14) получаем

Пример 52. Вычислить интеграл

Решение. Интеграл относится ко второй группе интегралов, берущихся по частям. Положим   тогда   Подставляя в формулу (2.14), получаем

Пример 53. Вычислить интеграл

Решение. Дан интеграл третьей группы интегралов, берущихся по частям:тогда

Подставим полученные результаты в формулу (2.14)

 

 

Получили алгебраическое уравнение относительно данного интеграла:

Решим это уравнение:

 тогда

На главную