Лекции по математике

Понятие числовой последовательности. Предел числовой последовательности. Монотонные последовательности.

Число е.

Предел функции. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые функции. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов

Методы интегрирования. Рассмотрим три основных метода интегрирования. Непосредственное интегрирование. Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Интегрирование рациональных функций. Интегрирование элементарных дробей.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интегрирование биноминальных дифференциалов

Теория вероятностей.

Основные понятия. Определение. Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной степенью возможности. Т.е. в некоторых случаях можно сказать, что одно событие произойдет практически наверняка, другое практически никогда.

Формула полной вероятности. Пусть некоторое событие А может произойти вместе с одним из несовместных событий , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий  и условные вероятности наступления события А при наступлении события Hi .

Случайные величины. Выше рассматривались случайные события, являющиеся качественной характеристикой случайного результата опыта. Для получения количественной характеристики вводится понятие случайной величины.

Биноминальное распределение. Если производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одинаковой вероятностью р в каждом из испытаний, то вероятность того, что событие не появится, равна q = 1 – p.

Функция распределения. Во всех рассмотренных выше случаях случайная величина определялась путем задания значений самой величины и вероятностей этих значений.

Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b].

Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю.

Функция Лапласа. Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.

Условные законы распределения. Как было показано выше, зная совместный закон распределения можно легко найти законы распределения каждой случайной величины, входящей в систему.

Линейная регрессия. Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y), где X и Y – зависимые случайные величины.

Теорема Бернулли. Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равно р.

Теория массового обслуживания. Случайные процессы. Система массового обслуживания состоит из некоторого числа обслуживающих единиц или каналов, работа которых состоит в выполнении поступающих по этим каналам заявок.

Цепи Маркова. (Андрей Андреевич Марков (1856-1922) – русский математик, академик) Процесс, протекающий в физической системе, называется марковским, если в любой момент времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в текущий момент и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.

Машиностроительное черчение, начертательная геометрия, инженерная графика