Лекции по математике

Предел функции. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые функции. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.

Предел функции в точке.

 y f(x)

 

 A + 

 A

  A - 

 0 a -  a a +  x

 Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

 Определение. Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что

0 < x - a < 

верно неравенство f(x) - A< .

 То же определение может быть записано в другом виде:

Если а -  < x < a + ,  x  a, то верно неравенство А -  < f(x) < A + .

Запись предела функции в точке:

 Определение. Если f(x)  A1 при х  а только при x < a, то  - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x)  A2 при х  а только при x > a, то  называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.

 у

 Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

 

Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

 Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х, если для любого числа >0 существует такое число М>0, что для всех х, х>M выполняется неравенство

При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.

Записывают:  

 

 Графически можно представить: 

Аналогично можно определить пределы  для любого х>M и

  для любого х<M.

Основные теоремы о пределах.

 Теорема 1. , где С = const.

 Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха.

  Теорема 2.

Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.

  Теорема 3.

 Следствие.

 Теорема 4.  при

 Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x)  0, f(x)  0.

  Теорема 6. Если g(x)  f(x)  u(x) вблизи точки х = а и , то и .

 Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что f(x)<M вблизи точки х = а.

 Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при ха, то она ограничена вблизи точки х = а.

 

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

  или

, т.е.

где М =  + А

Теорема доказана.

Бесконечно малые функции.

 Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при ха, где а может быть числом или одной из величин , + или -, если .

 Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

 Пример. Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х0 и не является бесконечно малой при х1, т.к. .

  Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при ха имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f(x) = A + (x),

где (х) – бесконечно малая при х  а ((х)0 при х  а).

 Свойства бесконечно малых функций:

Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при ха тоже бесконечно малая функция при ха.

Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при ха тоже бесконечно малая функция при ха.

Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при ха.

Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.

Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + (x), g(x) = B + (x), где

, тогда

f(x)  g(x) = (A + B) + (x) + (x)

A + B = const, (х) + (х) – бесконечно малая, значит

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + (x), g(x) = B + (x), где

, тогда

AB = const, (х) и (х) – бесконечно малые, значит

Теорема доказана.

Бесконечно большие функции и их связь с

бесконечно малыми.

  Определение. Предел функции f(x) при ха, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число >0, что неравенство

f(x)>M

выполняется при всех х, удовлетворяющих условию

0 < x - a < 

Записывается .

Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие f(x)>M на f(x)>M, то получим:

а если заменить на f(x)<M, то:

Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом:

 


 a x a x a 

На главную