Лекции по математике

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Методы интегрирования.

Первообразная функция.

  Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F(x) = f(x).

 Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F1(x) = F2(x) + C.

Неопределенный интеграл.

 Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

 Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

 Свойства:

1.

2.

3.

4.   где u, v, w – некоторые функции от х.

Пример:

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

 Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

Интеграл

 Значение

 Интеграл

 Значение

1

 -lncosx+C

9

 ex + C

2

 lnsinx+ C

10

 sinx + C

3

 

11

 -cosx + C

4

 

12

 tgx + C

5

13

 -ctgx + C

6

ln

14

 arcsin + C

7

15

8

 

16

 

На главную