Математика Вычислить несобственный интеграл Дифференциальные уравнения Степенные ряды Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Метод интегрирования по частям

Типовой расчет по высшей математике

Общая схема исследования функций

 Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

Точки разрыва. (Если они имеются).

Интервалы возрастания и убывания.

Точки максимума и минимума.

Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

Области выпуклости и вогнутости.

Точки перегиба.(Если они имеются).

Асимптоты.(Если они имеются).

Построение графика.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

.

 Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < -, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

 1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая

  < x < ¥,  y¢¢ > 0, кривая вогнутая

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥ < x < -, y¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y¢ < 0,  функция убывает

 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

  < x < ¥,  y¢¢ > 0, функция возрастает

 Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х =  является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2.

 Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

 Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

Построим график функции:

 Ниже рассмотрим несколько примеров исследования методами дифференциального исчисления различных типов функций.

 Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию   и построить ее график.

1. Областью определения данной функции являются все действительные числа (-¥; ¥).

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;

 с осью Ох: y = 0; x = 1;

4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;

Итого: у = -х – наклонная асимптота.

5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума.

. Видно, что у¢< 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция убывает на всей области определения и не имеет экстремумов. В точке х = 0 первая производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание не сменяется на возрастание, следовательно, в точке х = 0 функция скорее всего имеет перегиб. Для нахождения точек перегиба, находим вторую производную функции.

 y¢¢ = 0 при х =0 и y¢¢ = ¥ при х = 1.

Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y¢¢(1-h) < 0; y¢¢(1+h) >0; y¢¢(-h) > 0; y¢¢(h) < 0 для любого h > 0.

6. Построим график функции.

 Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.

1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x =

 с осью Оу: x = 0; y – не существует.

4. Точка х = 0 является точкой разрыва , следовательно, прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.

Наклонная асимптота у = х.

5. Находим точки экстремума функции.

; y¢ = 0 при х = 2, у¢ = ¥ при х = 0.

y¢ > 0 при х Î (-¥, 0) – функция возрастает, 

y¢ < 0 при х Î (0, 2) – функция убывает,

у¢ > 0 при х Î (2, ¥) – функция возрастает.

Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.

Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим вторую производную.

 > 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция вогнутая на всей области определения.

6. Построим график функции.

 Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.

Областью определения данной функции является промежуток х Î (-¥, ¥).

В смысле четности и нечетности функция является функцией общего вида.

Точки пересечения с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0;

 с осью Ох: y = 0, x = 0, x = 1.

Асимптоты кривой.

Вертикальных асимптот нет.

Попробуем найти наклонные асимптоты в виде y = kx + b.

 - наклонных асимптот не существует.

Находим точки экстремума.

Для нахождения критических точек следует решить уравнение 4х3 – 9х2 +6х –1 = 0.

Для этого разложим данный многочлен третьей степени на множители.

Подбором можно определить, что одним из корней этого уравнения является число

х = 1. Тогда:

Тогда можно записать (х – 1)(4х2 – 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две критические точки: x = 1 и x = ¼.

Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если при нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:

Найдем вторую производную функции: 12x2 – 18x + 6. Приравнивая к нулю, находим:

x = 1, x = ½.

Систематизируем полученную информацию в таблице:

 (-¥ ; ¼)

1/4

 (¼; ½) 

1/2

( ½ ; 1 )

 1

 (1 ; ¥)

f¢¢(x) 

 +

 +

 +

 0

 -

 0

 +

f¢(x)

 -

 0

 +

 +

 +

 0

 +

f(x)

убывает

вып. вниз

min

возрастает

вып. вниз

перегиб

возрастает

вып. вверх

перегиб

возрастает

вып. вниз

Построим график функции.


На главную