Математика Вычислить несобственный интеграл Дифференциальные уравнения Степенные ряды Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Метод интегрирования по частям

Типовой расчет по высшей математике

Замена переменного

 Пусть функция f(x) непрерывна, функции х(t) и t(x)взаимно обратны и непрерывно дифференцируемы на соответствующих промежутках. Тогда первообразная для функции f(x) имеет вид F(x) = Ф(t(x)), где Ф(t) есть первообразная для функции f(x (t)) x(t). Коротко это утверждение записывается так:

.

  Функция х(t) подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более удобный для интегрирования вид. Выбор ее определяется конкретно видом подынтегрального выражения. Рассмотрим некоторые часто встречающиеся замены:

 А. Вычисление интегралов  n, m – целые

I. Если оба показателя n и m – неотрицательные четные числа, то применяются формулы понижения степени:

 .

II. Если n и m – натуральные числа такие, что хотя бы одно из них нечетное, то в случае нечетного m полагаются sin x = t, а в случае нечетного n полагаются cos x = t и применяют либо формулу 1 – сos2 x = sin2 x = cos2 x/

III. Если n и m – целые неотрицательные числа такие, что оба числа |m| и |n| либо четные, либо нечетные, то полагают tg x = t и применяют формулы:

.

К этому типу сводятся интеграл вида

.

В самом деле,

.

IV. Если n и m – целые отрицательные числа, причем одно из числе |n| и |m| нечетное, то в случае нечетного |m| полагают sin x = t, а в случае нечетного |n| полагают сos x = t. Иногда в случае больших степеней |n| и |m| полезно в числителе подынтегральной функции неоднократно заменить единицу суммой sin2x + cos2x.

V. Если n – четное число, а m – целое отрицательное число, то можно заменить sin2x по формуле sin2x = 1 – сos2 х, и в этом случае интегралы сводятся к интегралам вида 

  a Î N.

В случае четного m и целого n заменяют cos2 x на 1 – sin2 х. В некоторых специальных случаях полагают tg x = t.

VI. Если n нечетное и m – целое отрицательное число, то полагают cos x = t и применяют формулу sin2x = 1 – cos2x. В случае, когда m нечетное, а n – целое отрицательное число, полагают sin x = t и применяют формулу cos2x = 1– sin2x.

 При вычислении рассматриваемых интегралов часто используются следующие формулы:

,

,

.

  Пример 1.

.

  Пример 2.

.

  Пример 3.

.

  Пример 4.

.

  Пример 5.

.

  Пример 6.

.

  Пример 7.

.

  В. Интегрирование выражений, содержащих радикалы ;

; а ¹ 0.

I. Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить = = а sin t.

 Так как выражение имеет смыл только при |x| £ a, то и первообразная ищется на промежутке –а < x < a, следовательно, можно считать, что  тогда = а cos t.

II. Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить .

  В этом случае первообразная ищется на луче х > а или на луче х < –а. Так как нет никаких оснований предпочесть один луч другому, то можно выбрать тот луч, на котором будет более простая запись преобразованного подынтегрального выражения, т.е. луч х > а, тогда берем и = a tg t.

 В этом же случае можно сделать замену х = а ch t, тогда .

III. Если подынтегральная функция содержит радикал , а > 0, то можно положить х = а tg t. Функция х = а tg t непрерывно дифференцируема на интеграле (), при этом промежутком изменения х является числовая прямая, поэтому

.

  Пример 8. Вычислим

  Решение. Положим х = а tg t, тогда и

.

  Так как , то

.

  Пример 9. Вычислим

  Решение. Положим х = a sin t, тогда

.

  Так как

, ,  где |x| ¹ a

то .

  Пример 10. Вычислим 

  Решение. Положим х = a sh t, тогда

.

  Так как

,  то

и .

  С. Вычисление интегралов вида

.

где R- рациональная функция.

 Полагая е = z, имеем R (ex, e2x, …, enx) = R (z, z2, …, zn) и .

 Пример 11. Вычислим

.

  Решение. Полагая ex = z, имеем R (ex, e2x, …, enx) = R (z, z2, …, zn) и

.

  D. Интегрирование биноминальных дифференциалов.

 Так называются дифференциалы вида хm(a + bxn)p dx, где а, b – постоянные, отличные от нуля, m, n, p – рациональные числа.

 Первообразная для функции хm(a + bxn)p является элементарной функцией в следующих трех случаях: а) р – целое, б) - целое, в) - целое;

 а) если р – целое, то полагают x = z где N – общий знаменатель дробей m и n.

 Пример 12. Вычислим

.

Решение. Положим x = z6, поскольку р = –2 – целое. Тогда ,

, dx = 6z5dz.

.

Следовательно,

.

 б) если  – целое, тогда полагают а + bxn = zN , где N – знаменатель дроби р.

 Пример 13. Вычислим

.

  Решение. Положим 1 + х2/3 = z2, поскольку  – целое. Тогда х = (z2 – 1)3/2, .

Следовательно,

, .

 

 в) если  – целое, тогда полагают ах–n + b = z, где N – знаменатель дроби р.

 Пример 14. Вычислим

.

  Решение. Положим z4 = 1 + x–4, поскольку  - целое. Тогда х = (z4 – 1)-1/4, dx = –z3(z4 – 1)–5/4 dz, .

Следовательно,

.

  Если подынтегральная функция содержит трансцендентальную функцию сложного аргумента j(x), то полезно для упрощения подынтегрального выражения сделать замену j(x) = t.

 Пример 15. Вычислим .

 Решение. Положим , тогда  и .

Интегрируя по частям, имеем

.

Следовательно,

.

 Пример 16. Вычислим

.

 Решение. Положим , тогда х + 1= –t3, dx = –3t2dt.

Следовательно,

.


На главную