Математика Вычислить несобственный интеграл Дифференциальные уравнения Степенные ряды Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Метод интегрирования по частям

Типовой расчет по высшей математике

Бесконечно малые функции.

 Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .

 Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

 Пример. Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к. .

 Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f(x) = A + a(x),

где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).

3.2. Свойства бесконечно малых функций.

Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.

Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.

Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда

f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)

A + B = const, a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда

A×B = const, a(х) и b(х) – бесконечно малые, значит

Теорема доказана.

3.3. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.

  Определение. Предел функции f(x) при х®а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число D>0, что неравенство

ïf(x)ï>M

выполняется при всех х, удовлетворяющих условию

0 < ïx - aï < D

Записывается .

Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие ïf(x)ï>M на f(x)>M, то получим:

а если заменить на f(x)<M, то:

Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом:

 


 a x a x a x

 Определение. Функция называется бесконечно большой при х®а, где а – чосли или одна из величин ¥, +¥ или -¥, если , где А – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥.

  Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

 Теорема. Если f(x)®0 при х®а (если х®¥ ) и не обращается в ноль, то

3.4. Сравнение бесконечно малых функций.

 Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

 Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

 Определение. Если , то функция a называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция b.

 Определение. Если , то a и b называются бесконечно малыми одного порядка.

  Определение. Если то функции a и b называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают a ~ b.

 Пример. Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x10 и f(x) = x.

т.е. функция f(x) = x10 – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.

  Определение. Бесконечно малая функция a называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции b, если предел  конечен и отличен от нуля.

  Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение  не имеет предела, то функции несравнимы.

 

 Пример. Если , то при х®0 , т.е. функция a - бесконечно малая порядка 2 относительно функции b.

 Пример. Если , то при х®0   не существует, т.е. функция a и b несравнимы.

3.5. Свойства эквивалентных бесконечно малых.

 1) a ~ a

 2) Если a ~ b и b ~ g, то a ~ g

 3) Если a ~ b, то b ~ a

 4) Если a ~ a1 и b ~ b1 и , то и  или .

Следствие: а) если a ~ a1 и , то и

 б) если b ~ b1 и , то

Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.

 Пример. Найти предел

Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

  Пример. Найти предел .

Так как 1 – cosx =  при х®0, то .

  Пример. Найти предел

 Если a и b - бесконечно малые при х®а, причем b - бесконечно малая более высокого порядка, чем a, то g = a + b - бесконечно малая, эквивалентная a. Это можно доказать следующим равенством .

 Тогда говорят, что a - главная часть бесконечно малой функции g.

 Пример. Функция х2 +х – бесконечно малая при х®0, х – главная часть этой функции. Чтобы показать это, запишем a = х2, b = х, тогда

.

 

3.6. Некоторые замечательные пределы.

Первый замечательный предел. , где P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an, 

Q(x) = b0xm + b1xm-1 +…+bm - многочлены.

Итого:

Второй замечательный предел.

Третий замечательный предел.

 Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

 Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

  Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел.

  Пример. Найти предел.

  Пример. Найти предел.

 

  Пример. Найти предел.

  Пример. Найти предел .

 Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.

x2 – 6x + 8 = 0; x2 – 8x + 12 = 0;

D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;

x1 = (6 + 2)/2 = 4; x1 = (8 + 4)/2 = 6;

x2 = (6 – 2)/2 = 2 ; x2 = (8 – 4)/2 = 2;

Тогда

  Пример. Найти предел.

  домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: =

=.

 

Пример. Найти предел.

  Пример. Найти предел .

 Разложим числитель и знаменатель на множители.

x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)

x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3),.

x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

Тогда

  Пример. Найти предел.

  Для самостоятельного решения:

8)  - не определен.


На главную