Математика Вычислить несобственный интеграл Дифференциальные уравнения Степенные ряды Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Метод интегрирования по частям

Типовой расчет по высшей математике

Сходимость несобственных интегралов

Определение и вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку

При вычислении и исследовании определённых интегралов учитывается основополагающее утверждение о том, что непрерывная на конечном интервале функция имеет первообразную (теорема Коши). Эта первообразная не всегда выражается через конечное число элементарных функций, но важно то, что она существует. При выполнении условий теоремы Коши определённый интеграл будем называть собственным, подразумевая наличие у него первообразной. Если один из пределов интегрирования не является конечным, то говорят о несобственном интеграле по бесконечному промежутку или первого рода, который определяют через предельный переход:

(1а)  

 Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл по бесконечному промежутку называется сходящимся, в противном случае – расходящимся (если предел не существует или равен бесконечности). Аналогично определению (1а) имеем: 

(1б)  

(1в)  где a<c<b.

 Интегралы, определённые формулами (1а) и (1б), будем называть несобственными интегралами с одной особенностью (соответственно на верхнем или нижнем пределах интегрирования).

 Пример 1. Вычислить несобственные интегралы по бесконечному промежутку или установить их расходимость:

 a).   б).  в). 

Решения.  а).  этот предел не существует; стало быть, исследуемый интеграл расходится.

 б).  

  стало быть, интеграл сходится и величина его равна .

 в). 

;  стало быть, интеграл сходится и величина его равна .

 Упражнение 1. Вычислить интегралы или установить их расходимость:

а). ; б). ; в). .

  Для сходящихся несобственных интегралов по бесконечному промежутку сохраняются основные свойства и формулы определенного интеграла, а именно: наряду с линейностью интеграла имеют место формулы Ньютона-Лейбница, замены переменной и интегрирования по частям.

 Пример 2. Вычислить интегралы:

а). ; б). ; в). .

  Решения. а). 

.

  б). .

в).

.

  Упражнение 2. Вычислить интегралы: 

а).  ; б). ; в). .

 В ряде случаев несобственный интеграл по бесконечному промежутку с помощью замены переменной преобразуется в собственный интеграл. Так, например, вычислим интеграл: . Пусть  ; если , *; если   Далее, имеем:  (это уже собственный интеграл) = .

ß 2. Определение и вычисление несобственных интегралов от разрывных функций

  Если подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке  и непрерывна в окрестности этой точки, то говорят о несобственном интеграле от разрывной функции или второго рода, который определяют опять-таки через предельный переход следующим образом:

(2) 

 Несобственный интеграл от разрывной функции ,

называется сходящимся, если существуют оба конечных предела в правой части соотношения (2), и – расходящимся, если не существует или равен бесконечности хотя бы один из них. Если разрыв подынтегральной функции находится только в одной из граничных точек промежутка интегрирования (a или b), то есть имеет место лишь один предел в правой части соотношения (2), то говорят о несобственном интеграле второго рода с одной особой точкой.

  Пример 3. Вычислить несобственные интегралы от разрывных функций или установить их расходимость:

a).  б).  в). 

Решения. а). Так как точка разрыва подынтегральной функции   находится внутри промежутка интегрирования, то разбиваем его на два участка так, чтобы в каждом было по одной особенности на верхнем или нижнем пределе промежутка интегрирования. Итак, имеем:

;

стало быть, исследуемый интеграл расходится. Если не учитывать, что подынтегральная функция терпит разрыв внутри промежутка интегрирования, то получим, естественно, неверный результат: .

 б). Исследуемый интеграл с одной особенностью в точке . Далее имеем: ;  стало быть, интеграл сходится и величина его равна .

 в). В этом интеграле имеем две особые точки и  соответственно на нижнем и верхнем концах промежутка интегрирования. По этой причине исследуемый интеграл разобьём на два интеграла, в каждом из которых будет по одной особенности. Итак, имеем:  

; стало быть, исследуемый интеграл сходится и величина его равна .

 Упражнение 3. Вычислить интегралы или установить их расходимость:

а). ; б). ; в). .

 Как и в случае несобственных интегралов по бесконечному промежутку для сходящихся несобственных интегралов от разрывных функций также сохраняются основные свойства и формулы определенного интеграла.

 Пример 4. Вычислить интегралы:

а). ; б). .

 Решения. а). Данный интеграл имеет одну особенность в точке , где подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв. Проведём интегрирование по частям: пусть , ; тогда , ; далее имеем:

, так как 

. Стало быть, исследуемый интеграл сходится и величина его равна (-4).

  б). Данный интеграл имеет одну особенность в точке , подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв. Сделаем замену переменной: пусть , ; если , ; если , ; при этом исходный интеграл преобразуется следующим образом :

 стало быть, исследуемый интеграл сходится и величина его равна .

 Как и в случае несобственного интеграла по бесконечному промежутку несобственные интегралы от разрывных функций могут превращаться в собственные интегралы при некоторых заменах переменных. Так, например, вычислим интеграл:  Интеграл имеет одну особенность в точке  где подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв. Сделаем замену переменной: пусть   если  если  При этом заданный несобственный интеграл преобразуется в собственный интеграл следующим образом:  (это уже собственный интеграл )

 Несобственные интегралы от разрывных функций в некоторых случаях могут превращаться в собственные интегралы при интегрировании по частям. Так, например, вычислим интеграл:  Этот интеграл имеет одну особую точку , где подынтегральная функция обращается в бесконечность. Реализуем метод интегрирования по частям: пусть   и , тогда  и  далее имеем:  (это уже собственный интеграл, который равен   ).

 Упражнение 4. Вычислить интегралы:

а). ; б). ; в). .

Преобразования несобственных интегралов от одного типа к другому

 Если первообразная в несобственных интегралах определяется без затруднений, то вычисление самого интеграла через предельный переход (который зачастую и не выписывается, а лишь подразумевается в целях упрощения выкладок) не вызывает особых сложностей. Если же первообразную найти затруднительно или же встаёт вопрос о её существовании при разрыве подынтегральной функции, то желательно установить сходимость или расходимость исследуемого интеграла вообще без попыток определения первообразной. Такую возможность дают признаки сходимости несобственных интегралов с одной особой точкой, которые будут рассмотрены в последующих параграфах. Эти признаки (критерии) сходимости или расходимости несобственных интегралов по бесконечному промежутку и от разрывных функций во многом схожи, так как при некоторых допущениях на подынтегральную функцию несобственный интеграл второго рода (от разрывных функций) с помощью замены переменной можно привести к несобственному интегралу первого рода (по бесконечному промежутку ) и, наоборот, свести несобственный интеграл первого рода к несобственному интегралу второго рода.

 Пусть в несобственном интеграле второго рода  подынтегральная функция непрерывна при Точка  есть особая точка, где подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв или вовсе не определена. Тогда согласно определению несобственного интеграла от разрывной функции (формула (2)) имеем: (*) . Сделаем замену переменной: пусть , , ; если , то ; если , то ; . Левую часть равенства (*) выражаем через новую переменную:  (**) . Если интеграл  сходится, то существует конечный предел: . Из равенства (**) следует, что и для интеграла  существует конечный предел: . Итак, можно сказать, что сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку  влечёт сходимость несобственного интеграла от разрывной функции , , причём имеет место и равенство этих интегралов.

Преобразование несобственного интеграла по бесконечному промежутку в несобственный интеграл от разрывной функции можно осуществить также с помощью замены переменной. Пусть имеем: . Сделаем замену переменной: , ; если , то ; если , то . Итак, имеем: , то есть получаем интеграл от разрывной функции в точке .

Приведём пример, где вычисление несобственного интеграла от разрывной функции осуществляется путём перехода к несобственному интегралу по бесконечному промежутку и далее с помощью интегрированию по частям получается окончательный результат. Итак, вычислим несобственный интеграл, от разрывной функции: . Решение. Так как , то имеем: . Сделаем замену переменной: пусть , тогда , ; если , ; если , . Далее, имеем: . Теперь проводим интегрирование по частям: , ; , ; , так как  .


На главную