Математика Вычислить несобственный интеграл Дифференциальные уравнения Степенные ряды Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Метод интегрирования по частям

Типовой расчет по высшей математике

Признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций

  Общий и предельный признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций аналогичны таким же признакам для несобственных интегралов по бесконечному промежутку (формулы (4) и (6)). Пусть функции  и , неотрицательные на промежутке  и интегрируемы на каждом отрезке ,. Тогда, если функции  и  удовлетворяют на промежутке  неравенству: , то имеем:  и из сходимости интеграла   следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграласледует расходимость интеграла . Возможные ситуации сопоставлений интегралов исследуемого и известного такие же, как это представлено в соотношениях . Далее, если существует, отличный от нуля, конечный предел:

 (12) ,

то интегралы  и  ведут себя одинаково: то есть сходятся или расходятся одновременно. В частности, если функции  и  эквивалентны при , то эти функции одновременно либо интегрируемы, либо неинтегрируемы на промежутке .

 В качестве частного признака сравнения несобственных интегралов от разрывных функций используется интеграл с параметром :

 (13) ,

который сходится при и расходится при . В самом деле, , откуда следует, что дробь, стоящая в правой части равенства терпит бесконечный разрыв при  и ; если же , то дробь разрыва не имеет и интеграл (13) сходящийся. В более общей форме частный признак сравнения несобственных интегралов от разрывных функций можно представить так:

 (13 а,б)  или ,

где, как и раньше, интегралы сходятся при  и расходятся при .

 Пример 12. Исследовать несобственные интегралы от разрывных функций на сходимость:

а). ; б). ; в). ; г). .

Решения. а). Так как на промежутке  имеет место неравенство: , то имеем сопоставление интегралов в виде частного и общего признаков сравнения: .

Поскольку интеграл в правой части неравенства сходится (формула(13)),то исследуемый интеграл тоже сходится согласно общему признаку сравнения несобственных интегралов.

 б). Пусть , а ; тогда имеем сопоставление интегралов: опорного (формула(13а))  и исследуемого в виде предельного признака сравнения (формула (12)):  ; так как опорный интеграл расходится, то расходится и исследуемый интеграл.

 в). Используем методику поиска опорного интеграла, описанную для несобственных интегралов первого рода:

1)., что означает, что подынтегральная функция имеет одну особенность в точке , где она терпит бесконечный разрыв (при вычислении предела использовалась эквивалентность функций при , а именно: ).

2). в качестве сопоставляемой функции используем  , которая эквивалентна функции   при ; то есть: , а поскольку интеграл  сходящийся (формула(13)), то и исследуемый интеграл тоже сходящийся.

 г). Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке , так как . Исследуя разложение функции  в точке , будем иметь: ; в качестве функции  возьмём ; тогда предельный признак сравнения даёт: , а поскольку  расходится, то расходится и исследуемый интеграл.

Упражнения 12. Исследовать интегралы на сходимость:

 а) ; б); в); г).

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций

 Как и в случае несобственных интегралов по бесконечному промежутку, критерий Коши (формула (3)) для несобственных интегралов от разрывных функций в практических целях мало пригоден (используется иногда для установления расходимости). Тем не менее, определим этот критерий для несобственных интегралов второго рода. Итак, пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b), интегрируема на любом отрезке [a, c], с<b, и неограниченна в левой окрестности точки x=b. Тогда для сходимости интеграла  необходимо и достаточно, чтобы для любого числа  существовало такое число , чтобы при любых   и , принадлежащих интервалу , выполнялось соотношение:

(14)  .

 Абсолютная и условная сходимость для несобственных интегралов от разрывных функций определяется аналогично тому, как это было сделано для несобственных интегралов по бесконечному промежутку ( см. §5) , а именно: несобственный интеграл от разрывной функций  называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл , и условно сходящимся, если интеграл  сходится, а интеграл расходится.

 Пример 13. Установить абсолютную сходимость интеграла:

Решение.   . Так как последний интеграл сходится, то искомый интеграл J сходится по общему признаку сравнения, причём сходится абсолютно.

 Упражнение 13. Установить абсолютную сходимость интеграла: .

  Если абсолютная сходимость несобственного интеграла от разрывной функции места не имеет, то исследовать исходный интеграл на условную сходимость как и в случае с несобственными интегралами по бесконечному промежутку помогают достаточные признаки сходимости Дирихле и Абеля (формулы (7)(11)). В случае несобственных интегралов второго рода упомянутые признаки сходимости определяются так:

 15. Признак Дирихле. Интеграл  сходится, если: 1).функция непрерывна и имеет ограниченную первообразную на; 2).функция  непрерывно дифференцируема и монотонна на , причём.

 16. Признак Абеля. Интеграл  сходится, если: 1).функция  непрерывна на  и интеграл  сходится; 2).функция ограничена, непрерывно дифференцируема и монотонна на , то есть имеет конечный предел:.

 Пример 14. Определить характер сходимости интеграла:

  .

Решение. Сходимость интеграла устанавливаем с помощью признака Абеля: пусть  , тогда , а , и сходимость интеграла:  (это несобственный интеграл первого рода от знакопеременной подынтегральной функции, который сходится по признаку Дирихле (см. пример и упражнение №8)), при этом исходный интеграл J сходится по признаку Абеля.

 Характер сходимости исходного интеграла J можно установить, исследовав его на абсолютную сходимость, то есть изучив интеграл:

. Так как , то расходится,  ,где ; пусть , , ; если x=0+, ; если x =1, t = 2. 

Этот интеграл сходится по признаку Дирихле, а интеграл  расходится, так как расходится ; итак, исходный интеграл  сходится условно.

 Упражнение 14. Определить характер сходимости интеграла:

  Пример 15. Исследовать сходимость интеграла: .

Решение. Исследуемый интеграл имеет одну особенность в точке x=0. Пусть: ; если x = 0+, то ; если .

Тогда:  и интеграл исходный является расходящимся.

 Упражнение 15. Исследовать интеграл на сходимость: .


На главную