Математика Вычислить несобственный интеграл Дифференциальные уравнения Степенные ряды Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Метод интегрирования по частям

Типовой расчет по высшей математике

Задача Среди перечисленных дифференциальных уравнений найти уравнения в полных дифференциалах: 

1)

2)

3)

Решение. Дифференциальное уравнение

является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется условие

Проверим его для каждого уравнения.

1.

 

 Условие не выполняется.

2.

 

Условие выполняется, тогда

- уравнение в полных дифференциалах.

3.

Условие не выполняется.

Задача 29. Найти общее решение дифференциального уравне­ния 

Решение. Это линейное однородное дифференциальное урав­нение 3 порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение (см. прил.2, п.1)

Так как его корни действительны и различны (), общее решение исходного уравнения имеет вид

 или

Задача 30. Найти общее решение дифференциального уравне­ния 

Решение. Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением 4 порядка с постоянными коэффициентами.

Составим характеристическое уравнение (см. прил. 2, п.1)

Паре корней  соответствует решение

 

Комплексным корням  соответствует решение

Общее решение исходного уравнения есть сумма полученных решений

Задача 31. Указать вид частного решения дифференциального уравне­ния 

Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами. Согласно теории таких уравнений (см. прил. 2, п.2) сначала решаем характеристическое уравнение

Затем правую часть уравнения представляем в виде

Получим  Здесь,

Частное решение, определяемое по правой части, будет иметь вид

 

где S – показатель кратности числа 5 как корня характеристического уравнения  

Итак,  или

Задача 32. Указать вид частного решения дифференциального уравне­ния 

Решение. Характеристическое уравнение  имеет корни

Будем искать частное решение  данного уравнения по виду правой части (см. прил. 2, п. 2).

Запишем правую часть данного уравнения в виде

Получим

Значит,

Частное решение будет иметь вид

где - показатель кратности корня  в характеристическом уравнении.

 Так как в данном случае значение  совпадает с корнем характеристического уравнения и , получим

или

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ  СПИСОК

Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2. М.: Высшая школа, 1967. 350 с.

Самарин Ю.П., Сахабиева Г.А. Математика-5 для студентов вузов. Самара, 2000. 54 с.

Самарин Ю.П., Сахабиева Г.А. Математика-6 для студентов вузов. Самара, 2000. 61 с.

Самарин Ю.П., Сахабиева Г.А. Математика-7 для студентов вузов. Самара, 2000. 72 с.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М., 1970, 800 с.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М., 1963, 656 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Таблица интегралов

;  (1)

; (2)

  (3)

 (4)

  (5)

 (6)

  (7)

 (8)

  (9)

 (10)

  (11)

 (12)

  (13)

 (14)

  (15)

 (16)

Формула интегрирования по частям

;  (17)

; (18)

;  (19)

Продолжение прил. 1

 ;  (20)

; (21)

;  (22)

. (23)

Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги)

;  (24)

; (25)

  (26)

 если 

Переход к полярным координатам :

  (27)

если

Масса дуги кривой l с плотностью

.  28)

Криволинейный интеграл II рода (по координатам)

  (29)

если

  (30)

 если

 

Продолжение прил.1

  (31)

 если

Работа силы на криволинейном пути L:

.  (32)

Двойной интеграл в прямоугольных координатах

 (33)

 (34)

Двойной интеграл в полярных координатах

 (35)

  

Ряды Задача . Определить, какие ряды сходятся: А)   Б)  В)

Задача Найти коэффициенты  и  разложения в ряд Фурье функции . Записать это разложение.

Разложение в ряд Фурье  функции , заданной на отрезке :

Найти производную  от функции, заданной параметрически: .

Найти неопределённый интеграл .

Задача . Вычислить .

Задача . Вычислить , если l задана уравнением Решение. Воспользуемся формулой вычисления криволинейного интеграла I рода для кривой, заданной в полярных координатах:

Найти область сходимости функционального ряда

Задача. Найти общее решение дифференциального уравнения 


На главную