Математика Вычислить несобственный интеграл Дифференциальные уравнения Степенные ряды Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Метод интегрирования по частям

Типовой расчет по высшей математике

Дифференциал функции.

 Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать:  , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

 Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

 Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или

dy = f¢(x)dx.

Можно также записать:

 

8.2. Геометрический смысл дифференциала.

 

 Из треугольника DMKL: KL = dy = tga×Dx = y¢×Dx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

8.3. Свойства дифференциала.

 Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv

d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv

d(Cu) = Cdu

 

 

8.4. Дифференциал сложной функции.

Инвариантная форма записи дифференциала.

 Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.

Тогда  dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.

 Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

 Однако, если х- независимая переменная, то

dx = Dx, но

если х зависит от t, то Dх ¹ dx.

Таким образом форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.

 Пример. Найти производную функции.

Сначала преобразуем данную функцию:

  Пример. Найти производную функции .

  Пример. Найти производную функции

  Пример. Найти производную функции

  Пример. Найти производную функции


На главную