Пример 1 (рис.16,а). Проверить прочность колонны, выполненной из двутавровых профилей заданного размера. Для материала колонны (сталь СтЗ) принять допускаемые напряжения при растяжении [σр] =160 МПа и при сжатии [σс] =120 МПа. В случае перегрузки, или значительной недогрузки подобрать новые размеры двутавров, обеспечивающие оптимальную прочность колонны
.
Рис.16
Решение. В заданном брусе два участка: I и II. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы. Так как силы, нагружающие брус, расположены по его центральной продольной оси, то в поперечных сечениях возникает лишь один внутренний силовой фактор — продольная сила N, т. е. имеет место растяжение (сжатие) бруса.
Для определения продольной силы применяем метод сечений. Проводя мысленно сечение в пределах каждого из участков, отбрасываем нижнюю закрепленную часть бруса и оставляем для рассмотрения верхнюю часть. На участке I продольная сила постоянна и равна NI = -F1 = -230 кН. На участке II продольная сила также постоянна и равна NII = -F1 - F2 = -230 -180 =110 кН. Знак минус указывает на то, что на обоих участках брус сжат. Строим эпюру продольных сил N (рис. 16,б). Проведя параллельно оси бруса базовую (нулевую) линию эпюры, откладываем перпендикулярно ей в произвольном масштабе полученные значения N. Эпюра оказалась очерченной прямыми линиями, параллельными базовой.
Выполняем проверку прочности бруса, т. е. определяем расчетное напряжение (для каждого участка в отдельности) и сравниваем его с допускаемым. Для этого используем условия прочности при сжатии σ = N/А ≤ [σс], где площадь А является геометрической характеристикой прочности поперечного сечения. Из таблицы прокатной стали ГОСТ 8239—89 (см. стр. 10) берем:
для двутавра № 20 А1 = 26,8 см2 = 26,8 ∙ 10-4 м2;
для двутавра № 30 А2 = 46,5 см2 = 40,5 ∙ 10-4 м2.
Проверка прочности:
Σ1 = NI/А1 ≤ [σс]; 230 · 103/ 28,8 - 10-4 = 86 ∙ 106 Па < 120 ∙ 106 Па;
Σ2 = NII/А2 ≤ [σс]; 410 ∙ 103/ 46,5 · 10-4 = 88,5 · 106 Па < 120 ∙ 106 Па;
Где допускаемое напряжение [σс]= 120 МПа = 120 · 106 Па
и продольные силы N1= 230 кН = 230 ∙ 103 Н и NII = 410 кН = 410 · 103 Н.
Значения продольных сил взяты по абсолютной величине. Прочность бруса обеспечена, однако со значительной (более 25 %) недогрузкой, что недопустимо из-за перерасхода материала.
Из условия прочности определим новые, рациональные размеры сечения для каждого из участков бруса:
σ1 = NI/А2 ≤ [σc]; 230 ∙ 103/А1≤ 120 ∙ 106
отсюда требуемая площадь АI = 19,2 ∙ 10-4 м2 = 19,2 см2.
По таблице ГОСТа выбираем двутавр № 16, для которого АI = 20,2 см2;
σ2 = NII/A2≤ [σc]; 410 ∙ 103/А2 ≤ 120 ∙ 106
отсюда требуемая площадь А2 =34.2 ∙10-4 м2 = 34,2 см2. По таблице ГОСТа выбираем двутавр
№ 24, для которого А2 = 34,8 см2.
При выбранных размерах двутавров также имеется недогрузка, однако незначительная (менее 5 %),
Пример 2. (рис. 17,а). Для бруса с заданными размерами поперечного сечения определить допускаемые значения нагрузок F1 и F2. Для материала бруса (сталь СтЗ) принять допускаемые напряжения при растяжении [σр] =160 МПа и при сжатии [σс] =120 МПа.
Решение. В заданном брусе два участка: I и П. Имеет место растяжение (сжатие) бруса (подробнее см. решение предыдущего примера).
Применяя метод сечений, определяем продольную силу Н, выражая ее через искомые силы F1 и F2. Проводя в пределах каждого из участков сечение, отбрасываем левую закрепленную часть бруса и оставляем для рассмотрения правую часть. На участке I продольная сила постоянна и равна NI= F1. На участке II продольная сила также постоянна и равна NII = F1 + F2 . Знак плюс указывает на то, что на обоих участках брус растянут. Строим эпюру продольных сил N (рис. 17,б). Эпюра очерчена прямыми линиями, параллельными базовой. Из условия прочности при растяжении определяем допускаемые значения нагрузок F1 и F2, предварительно вычислив площади заданных поперечных сечений:
А1 = πd2/4 = 3,14 ∙ 42/4 = 12,56 мм2 = 12,56 ∙ 10-6 м2;
А2 = а2 = 72 = 49 мм2 = 49 · 10-6 м2;
σ1 = NI / ≤ [σр]; F1/12,56 ∙ 10-6 ≤ 160 ∙ 106,
отсюда F1 = 2020 Н = 2,02 кН
σ2 = NII / A2 ≤ [σр]; F1 + F2 / 49 ∙ 10-6≤ 160 ∙ 106,
отсюда F1+F2 = 7840 Н = 7,84 кН и F2 = 7,84 - F1 = 5,82 кН.
Здесь допустимое напряжение [σр] =160 МПа = 160 ∙106 Па.
| Техническая механика. Лабораторные работы, примеры решения задач
|