Техническая механика. Лабораторные работы, примерв решения задач

Машиностроительное черчение
Начертательная геометрия
Техническая механика
ТРЕНИЕ  СКОЛЬЖЕНИЯ
ТРЕНИЕ  КАЧЕНИЯ
ИСПЫТАНИЕ СТАЛЬНОГО ОБРАЗЦА НА РАСТЯЖЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ
ИСПЫТАНИЕ ОБРАЗЦОВ МАТЕРИАЛОВ НА СРЕЗ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ  МОДУЛЯ СДВИГА
  ИСПЫТАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВИНТОВЫХ ПРУЖИН
ИССЛЕДОВАНИЕ  УСТОЙЧИВОСТИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС
Статика
Плоская система сходящихся сил
Определить модуль и направление силы
Метод сечений
Напряжения, растяжение сжатие
Изгиб
Балка с защемлённым концом
Расчеты на прочность при изгибе
Элементы кинематики и динамики
Поступательное движение твёрдого тела
Динамика
Понятие о трении
Детали машин и механизмов
Сварка
Контрольная работа
Проверить прочность колонны
расчет на прочность при растяжении
Для заданной консольной балки
Вал вращается в подшипника
Инженерная графика
 

Пример 5. (рис.23,а). Для заданной консольной балки подобрать размеры сечения в двух вариантах: а) двутавр; б) прямоугольник с заданным отношением h/b = 1,5 высоты и ширины. Сравнить массы балок по обоим расчетным вариантам. Для материала балки (сталь СтЗ) принять допускаемое напряжение при изгибе [σ] = 160 МПа.

Решение. В заданном брусе три участка: I, II и Ш. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы и моменты. Так как силы и моменты, нагружающие брус, действуют в продольной плоскости, совпадающей с плоскостью симметрии бруса, то в поперечных сечениях возникает два внутренних силовых фактора - изгибающий момент МИ и поперечная сила Q, т. е. брус испытывает изгиб.

  Рисунок 23

Для определения изгибающего момента применяем метод сечений. Проводя мысленно сечение в пределах каждого из участков, отбрасываем правую закрепленную часть балки и оставляем для рассмотрения левую часть. 

Эпюру изгибающих моментов строим по характерным точкам, т. е. вычисляем МИ в характерных сечениях А, В, С и D. В сечении А изгибающий момент МИА = 0, так как относи­тельно точки А внешняя сила F1 момента не создает (плечо силы равно нулю).

В сечении В изгибающий момент

МИВ = F1 · АВ = 20 · 0,5 = 10 кН-м.

В сечении С участка II (т. е. в сечении, бесконечно близком к сечению С слева) изгибающий момент

МИСII = F1 · АС - F2 · ВС = 20 · 1 - 20 · 0,5 = 10 кНм.

В сечении С участка Ш (т. е. в сечении, бесконечно близком к сечению С справа) изгибающий момент

МИСIII = F1 · АС - F2 · ВС - М = МИСII - М = 10 - 16 = -6 кНм

(т. е. в сечении С изгибающий момент изменился «скачком» на значение приложенного здесь внешнего момента Мξ).

В сечении D изгибающий момент

МИD = F1 · АD - F2 · ВD - М - F3 · СD = 20 · 1,5 - 20 · 1 - 16 - 44 · 0,5 = - 28 кН м.

Нанося полученные характерные точки на график н соединяя их прямыми линиями, получаем эпюру изгибающих моментов МИ (рис.23,б).

Определяем размеры поперечного сечения балки, для чего используем условие прочности при изгибе σ = МИ /Wх = [σ], где осевой момент сопротивления Wх является геометрической характеристикой прочности поперечного сечения, а МИ - взятый по абсолютному значению максимальный изгибающий момент.

В нашем случае в опасном сечении (сечение D) МИD = 28 кНм = 28 · 103 Н м;

σ = МИ / Wх < [σ]; 28 · 103/ Wх ≤ 160 • 106,

отсюда требуемый момент сопротивления Wх = 175 ·  10-6 м3 = 175 см3.

Здесь допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа = 160 · 106 Па.

Подбираем сечение балки в двух вариантах:

1. Сечение - двутавр.

По таблице прокатной стали ГОСТ 8239-89 (см. стр. 10) выбираем двутавр № 20,

для которого Wх = 184 см3 и площадь сечения А = 26,8 см2.

2. Сечение - прямоугольник с заданным отношением высоты и ширины h/b = 1,5.

Для прямоугольника момент сопротивления Wх = bh2 /6.

В нашем случае Wх = hh2 / (1,5 · 6) = h3 / 9.

Приравнивая h3 / 9 = 175 см3, находим h = 11,7 см = 117 мм и b = h/1,5 = 11,7 / 1,5 = 7,8 см = 78 мм.

Площадь прямоугольного сечения А = bh = 7,8 · 11,7 = 91,3 см2.

Отношение масс балок одинаковой длины равно отношению площадей сечений

Апр / АI = 91,3 / 26,8 = 3,4.

Следовательно, балка прямоугольного сечения тяжелее двутавровой в 3,4 раза.

Пример 6. (рис. 24,а). Подобрать размеры квадратного сечения заданной двухопорной балки. Для материала балки (сталь СтЗ) с учетом повышенных требований к ее жесткости принять [σ] = 130 МПа.

Рис.24

  Решение. В заданном брусе четыре участка: I, II , Ш и IV. Имеет место изгиб бруса. В отличие от рассмотренной в предыдущем примере консольной (т. е. одноопорной) балки расчет двух опорной балки следует начать с определения реакций RB и RD шарнирных опор (горизонтальная реакция шарнирно-неподвижной опоры В, очевидно, равна нулю). Полагая обе реакции направленными вверх, составляем два уравнения равновесия, выбрав в качестве центра моментов точки В и D (более подробно о составлении уравнений равновесия см. методические указания к выполнению первой контрольной работы - раздел «Статика»):

1) ΣMВ(Fi) = 0; - М1 + F1 · ВС - М2 - RD · ВD - F2 · ВЕ = 0,

 

- 10 + 210 · 0,1 - 16 - RD · 0,2 - 300 · 0,25 = 0,  отсюда RD = - 400 Н.

2) ΣMD = 0; - М1+ RВ · ВD - F1 · СD - М2 - F2 · DЕ=0;

 

- 10 + RВ · 0,2 - 210 · 0,1 - 16 - 300 · 0,5 = 0, отсюда RВ = 310 Н.

 Составляем проверочное уравнение равновесия:

ΣFу = RВ - F1 + RD + F2 = 310 - 210 + (- 400) + 300 = 610 - 610 = 0.

Следовательно, реакции опор определены, верно. Реакция получилась отрицательной, т, е. направлена не вверх, а вниз (что и показываем на чертеже, перечеркивая предварительно выбранное направление). Найденные значения RВ и RD проставляем на чертеже.

Для определения изгибающего момента применяем метод сечений. Проводя мысленно сечение в пределах каждого из участков, отбрасываем правую часть балки и оставляем для рассмотрения левую часть, т. е. строим эпюру слева направо (с равным успехом можно было принять порядок построения справа налево). Эпюру изгибающих моментов строим по характерным точкам, т. е. вычисляем МИ в характерных сечениях А, В, С, D и Е. В сечениях A и В, равно как и в любом другом сечении участка I, изгибающий момент постоянен и равен МИI = - М1 = - 10 Нм. В сечении С участка II (т. е. в сечении, бесконечно близком к сечению С слева) изгибающий момент

МИСII = - М1 + RВ · ВС = - 10 + 310 · 0,1 = 21 Нм.

В сечении С участка Ш (т. е. в сечении, бесконечно близком к сечению С справа) изгибающий момент

МИСIII = - М1 + RВ · ВС - М2 = МИСII - М2 = 21 - 16 = 5 Нм

(т. е. в сечении С изгибающий момент изменился «скачком» на значение приложенного здесь внешнего момента М2).

Для упрощения расчетов дальнейшие вычисления МИ целесообразно проводить справа налево, т. е. отбрасывая левую часть балки и оставляя для рассмотрения правую часть.

В сечении D изгибающий момент МИD = - F2 · DЕ = 300 · 0,05 = 15 Нм.

В сечении Е изгибающий момент МИЕ = 0, так как относительно точки Е внешняя сила F2 момента не создает (плечо силы равно нулю). Нанося полученные характерные точки на график и соединяя их прямыми линиями, получаем эпюру изгибающих моментов МИ (рис. 24,б). Из условия прочности балки при изгибе определяем размеры ее поперечного сечения. В опасном сечении (сечение С) взятый по абсолютному значению изгибающий момент МИ = 21 Нм,

σ = МИ / Wх ≤ [σ], 21/ Wх ≤ 130 · 106,

отсюда требуемый осевой момент сопротивления Wх = 0,162 · 106 м3 = 162 мм3.

Для квадрата момент сопротивления Wх = а3 /6.

Приравнивая а3 /6 = 162 мм3, находим сторону квадрата а = 9,9 мм. Принимаем, а = 10 мм.

К задачам 51...60. К решению этих задач следует приступать после изучения темы «Изгиб и. кручение», уяснения приведенных ниже методических указаний и разбора примера. В случае совместного действия изгиба с кручением (например, для валов) в поперечных сечениях бруса одновременно возникают два внутренних силовых фактора—изгибающий момент МИ и крутящий момент МК (влиянием поперечной силы Q пренебрегают). Расчет на прочность ведут по так называемому эквивалентному напряжению σэ на основе третьей или четвертой гипотезы прочности. Условие прочности имеет вид σэ = МЭ / W ≤ [σэ], где

МЭ - эквивалентный момент, определяемый в зависимости от принятой гипотезы прочности следующим образом: МЭIII =  для третьей гипотезы (гипотезы наибольших касательных напряжений); МЭIV =  для четвертой гипотезы (гипотезы энергии формоизменения). Обе гипотезы дают примерно одинаковые результаты расчета,

подшипники Тольятти, подшипники.
Техническая механика. Лабораторные работы, примеры решения задач