Техническая механика. Лабораторные работы, примерв решения задач

Пример 6. (рис. 25,а). Вал вращается в подшипниках с угловой скоростью ω = 9,4 рад/с и передает с первого зубчатого колеса на второе мощность Р = 40 кВт. На зубья колес действуют окружные силы F, направленные касательно к расчетным окружностям, диаметры которых соответственно d1 = 0,49 и d2 = 0,13 м. Определить диаметр вала, считая его постоянным по всей длине. Для материала вала (сталь 45) с учетом предотвращения усталостного разрушения принять допускаемое напряжение [σ] = 90 МПа.

Решение. Согласно правилу статики для параллельного переноса силы приводим нагрузки F1 и F2 к оси вала, присоединяя при этом пары с моментами соответственно М1 = F1d1/2 и М2 = F2d2/2, плоскости действия которых перпендикулярны оси вала (рис. 25,б). В заданном брусе три участка: I, II и Ш. Имеют место изгиб и кручение бруса. В поперечных сечениях возникают два внутренних силовых фактора — крутящий момент МК и изгибающий момент МИ (в рассматриваемом случае изгиб одновременно в двух плоскостях - вертикальной и горизонтальной). Возникающая в сечениях поперечная сила Q при расчете не учитывается.

1. Зная передаваемую валом мощность Р и его угловую скорость ω, определяем вращающий момент на валу по формуле М = Р/ω = 40/9,4 = 4,25 кНм. Вращающий, момент М1 на первом (приемном) колесе, очевидно, равен М1 = М. Для равномерно вращающегося вала сумма моментов относительно его продольной оси Z равна нулю: ∑МZ = 0, т. е. М1 - М2 = 0,

отсюда М2 = М1 = 4.25 кНм. Силы F1 и F2 найдем из приведенных выше зависимостей:

F1 = 2М1/d1 = 2 · 4,25/0,49 = 17,4 кН; F2 = 2М2/d2 = 2 · 4,25/0,13 = 65,3 кН.

  2. Расчетная схема вала при кручении представлена на рис. 25,в. Применяя метод се­чений, определяем крутящий момент на каждом из участков:

МКI = 0; МКII = МКIII = М1 = 4,25 кНм. Построенная эпюра крутящих моментов МК дана на рис. 25,г.

  3. Расчетная схема вала при изгибе в вертикальной плоскости представлена на рис. 25,д.

Так как нагрузка F1 приложена симметрично относительно опор, реакции опор

RAу = RСу = F1 / 2 = 17,4/2 = 8,7 кН и направлены навстречу нагрузке.

Применяя метод сечений, определяем изгибающие моменты в характерных сечениях: МИА = 0;

МИB = - RAу · АВ = - 8,7 · 0,14 = - 1,22 кНм; МИС = МИD = 0. Построенная эпюра изгибающих моментов МИB для изгиба в вертикальной плоскости дана на рис.25, е.

Рис.25

 

  4.Расчетная схема вала при изгибе в горизонтальной плоскости представлена на рис. 25,ж (горизонтальная плоскость условно совмещена с плоскостью чертежа). Реакции опор определяем из уравнений равновесия статики: ∑МА = 0;

F2 · АD — Rсх · АС = 0; 65,3 · 0,4 - Rсх · 0,28 = 0 , отсюда Rсх = 93,3 кН; ∑Мс =0;

F2 · СD —Rах · АС = 0;

65.3 · 0,12 — Rαх · 0,28 = 0. отсюда Rах = 28 кН.

Проверка. ∑Fх = Rах — Rсх + F2 = 28 -93.3 +

+ 65.3 == 93.3 - 93.3 = 0. Применяя метод сечений, определяем изгибающие моменты в характерных сечениях: Миа = 0;

Мив = — Rах · АВ= - 28 · 0,14 = — 3,9 кН м;

Мис =— Rах · АС = -28 · 0.28 = —7,8 кН м;

Миd = 0. Построенная эпюра изгибающих моментов МиГ для изгиба в горизонтальной плоскости дана на рис.25,з

 5. Результирующий изгибающий момент определяем по формуле МИ =  

так как Мив и Мс действуют во взаимно перпендикулярных плоскостях. Опасным является

сечение С, для которого МИ =  (сечение В менее опасно, так как для

для него МИ =

 6. Определяем по гипотезе наибольших касательных напряжений эквивалентный момент в опасном сечении:

Мэ = м

  7. Из условия прочности вала при изгибе и кручении определяем требуемый диаметр вала:

σэ =Мэ/W≤[σ]; 8,8 · 103/ W ≤ 90 · 106,

отсюда требуемый осевой момент сопротивления Wх= 97,8 · 10-6 м3 = 97,8 · 103 мм3. Для круга момент сопротивления W== πd3/32 ≈ 0,13. Приравнивая 0,1d3 = 97,8 · 103 мм3, находим диаметр вала d = 99,3 мм. Принимаем d = 100 мм. 

Техническая механика. Лабораторные работы, примеры решения задач