Техническая механика. Лабораторные работы, примерв решения задач

Машиностроительное черчение
Начертательная геометрия
Техническая механика
ТРЕНИЕ  СКОЛЬЖЕНИЯ
ТРЕНИЕ  КАЧЕНИЯ
ИСПЫТАНИЕ СТАЛЬНОГО ОБРАЗЦА НА РАСТЯЖЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ
ИСПЫТАНИЕ ОБРАЗЦОВ МАТЕРИАЛОВ НА СРЕЗ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ  МОДУЛЯ СДВИГА
  ИСПЫТАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВИНТОВЫХ ПРУЖИН
ИССЛЕДОВАНИЕ  УСТОЙЧИВОСТИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС
Статика
Плоская система сходящихся сил
Определить модуль и направление силы
Метод сечений
Напряжения, растяжение сжатие
Изгиб
Балка с защемлённым концом
Расчеты на прочность при изгибе
Элементы кинематики и динамики
Поступательное движение твёрдого тела
Динамика
Понятие о трении
Детали машин и механизмов
Сварка
Контрольная работа
Проверить прочность колонны
расчет на прочность при растяжении
Для заданной консольной балки
Вал вращается в подшипника
Инженерная графика
 

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЦЕНТРАЛЬНО СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9 по дисциплине «ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Определение критической силы и сравнение устойчивости центрально сжатых стержней при различных способах закрепления его концов.

ОБОРУДОВАНИЕ

1. Стержень стальной

2. Стержень деревянный

3. Набор грузов

4. Набор приспособлений для закрепления концов стержня.

ХАРАКТЕРИСТИКА ОБРАЗЦОВ

 1. Стержень стальной

Материал:  сталь 50Г2

Рабочая длина: ℓ = ____ мм

Поперечное сечение –  прямоугольник размерами: b = ___ мм; h = ___ мм 

2. Стержень деревянный

Материал:  сосна

Рабочая длина: ℓ = ____ мм

Поперечное сечение – прямоугольник размерами: b = ___ мм; h = ___ мм 

ПОЯСНЕНИЯ К РАБОТЕ

В сопротивлении материалов основным является установление зависимости вида равновесия от величин сил, действующих на элементы конструкции. Одним из основных видов нагружения элементов является центральное сжатие. Относительно короткие и массивные стержни рассчитываются на простое сжатие, т.к. потеря их прочности происходит в результате разрушения или больших остаточных деформаций. Длинные тонкие прямолинейные стержни под действием осевых сил изгибаются и теряют равновесие (рис. 1).

 

 Рис. 1.

Пока сила F меньше определенного для данного стержня значения, стержень устойчиво сохраняет прямолинейную форму равновесия (рис. 1а). При некотором значении продольной сжимающей силы F = FКР стержень не выпрямится, а останется изогнутым (рис. 1б). Изгиб стержня, связанный с потерей устойчивости прямолинейной формы равновесия, называется продольным изгибом. Такие стержни работают на изгиб и сжатие, что не предусмотрено проектом и приводит к их разрушению.

Наибольшая величина центрально приложенной сжимающей силы, при которой стержень еще сохраняет устойчивость (т.е. остается прямолинейным), называется критической и обозначается FКР

При сжимающей силе, меньшей критической, стержень работает на сжатие, при силе, больше критической – на совместное действие сжатия и изгиба. Следовательно, расчет на устойчивость должен обеспечить работу элемента конструкции при первоначальной форме его упругого равновесия, т.е. при нагрузках, меньших критических. Для тонких стержней это означает сохранение прямолинейной формы.

Расчет на устойчивость заключается в определении допускаемой сжимающей силы [F] и сравнение ее значения с силой действующей F. Причем, должны соблюдаться следующие условия:

 F £ [F], а [F] = FКР/ [sУ]

Следовательно,

 F £ FКР/ [sУ],

где F – действующая сжимающая сила;

[F] – допускаемая сжимающая сила, обеспечивающая некоторый запас устойчивости;

[sУ] – допускаемый коэффициент запаса устойчивости. Он зависит от материала, положения элемента в конструкции, ответственности конструкции и др. Обычно для сталей [sУ] = 1,8…3,0; для чугуна [sУ] = 5,0; для дерева [sУ] = 2,7…3,0 (принимается среднее значение 2,8).

 Отсюда следует, что для расчета на устойчивость необходимо иметь зависимость для определения критической силы.

Задачу определения критической силы решил Леонард Эйлер в 1744 году. Его формула имеет вид:

  (1),

где Е – модуль упругости материала стержня;

Jmin – минимальный осевой момент инерции поперечного сечения стержня;

ℓ  – длина стержня;

m – коэффициент приведения длины, зависящий от способов закрепления концов стержня (рис. 2).

  F F F F F

 

 

 

Рис.2. Значение коэффициента приведения длины m

в зависимости от способов закрепления концов стержня.

Нормальное напряжение в поперечном сечении сжатого стержня, соответствующее критическому значению сжимающей силы, называется критическим, sКР.

 Значение критического напряжения, исходя из формулы Эйлера:

  (2),

где А – площадь поперечного сечения стержня.

 Величина  называется минимальным радиусом инерции поперечного сечения стержня. Тогда формулу (2) можно привести к виду:

,

  или  (3)

Величина  называется гибкостью стержня и обозначается l:

 l (4)

Гибкость l величина безразмерная и показывает сопротивляемость стержня потере устойчивости. Чем больше гибкость, тем менее устойчив стержень. Гибкость не зависит от материала и определяется длиной и жесткостью поперечного сечения.

С учетом значения (4) формулу критического напряжения (3) можно переписать в виде:

  (5)

Расчеты по формулам (1) и (5) можно выполнять только для случаев, когда критическое напряжение не превышает предела пропорциональности, примерно равного пределу упругости для данного материала, sПЦ ≈ sУ .

  £ sПЦ (6)

Отсюда можно подсчитать значение гибкости, при котором действительна формула Эйлера:

   (7)

Если  = lпред (8),

такая гибкость называется предельной, или граничной.

Как видно из формулы (8), предельная гибкость зависит от материала стержня и постоянна для данного материала. На практике бывают случаи, когда материал работает при напряжениях, превышающих предел упругости sУ. При этом, в реальных конструкциях могут возникнуть пластические деформации, не приводящие к потере работоспособности (например, сваи портовых причалов). Тогда формула Эйлера неприменима и величина критического напряжения определяется по эмпирическим формулам, составленным русским ученым Ф.С. Ясинским на основе опытов. Наиболее распространенная формула имеет вид:

  sКР = a – b ∙ l (9),

где а и b – постоянные коэффициенты, зависящие от материала. Их значения указаны в таблице 1.

 Таблица 1. Значения коэффициентов  a и b, а также гибкости l0 и lпред

для различных материалов

Материал стержня

a, МПа

b, МПа

l0

lпред

Сталь Ст 2

264

0,70

60

105

Сталь Ст 3

310

1,14

60

100

Сталь Ст 4, Сталь 20

328

1,15

60

96

Сталь 45

449

1,67

52

85

Дюралюминий Д16Т

406

1,83

30

53

Сосна, ель

29,3

0,194

 –

70

Было замечено, что напряжения sКР, вычисленные по формуле (9), при некотором значении гибкости l = l0 , почти не отличаются от значений напряжений, подсчитанных при простом сжатии. Таким образом, в зависимости от гибкости, сжатые стержни условно делят на три категории:

а) стержни малой гибкости (l < l0), рассчитываемые на простое сжатие;

б) стержни средней гибкости (l0 £ l < lпред), рассчитываемые на устойчивость по формуле Ясинского;

в) стержни большой гибкости (l ³ lпред), для которых расчет ведется по формуле Эйлера.

Все эти категории можно изобразить графически (рис. 3).

 Прямая Ясинского Гипербола Эйлера 

 

 

 Простое

 сжатие

 Стержни  Стержни

 малой средней Стержни

 гибкости гибкости большой

  гибкости

 

  Рис. 3

Критическая сила при рассчитанном критическом напряжении определяется:

а)  для простого сжатия FКР = sКР × А (10)

б) для стержней средней гибкости FКР = (a – b ∙ l) ∙ А (11)

в) для стержней большой гибкости FКР =  (12)

 ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТА

Пусть дан стержень прямоугольного сечения, изготовленный из стали Ст3, закрепленный концами на шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной опорах (рис. 4). Определить критическую силу FКР.

 y

 

 ℓ = 1000 мм

 b = 3 мм

 x h = 60 мм

  ℓ 

 h

 

 

 b 

 Рис. 4

Р Е Ш Е Н И Е

1. При такой схеме закрепления концов стержня коэффициент приведения длины m = 1,0.

2. Геометрические характеристики сечения стержня.

а). Площадь поперечного сечения: A = b ∙ h A = 3 ∙ 60 = 180 мм2

б). Минимальный момент инерции сечения: Jmin = Jy =  мм4

в). Минимальный радиус инерции сечения: imin = мм

3. Гибкость стержня:

Полученное значение l = 745 больше предельного значения для стали Ст3, равного lпред = 100. Значит, дальнейший расчет ведется по формуле Эйлера.

4. Расчетное значение критической силы:

 FКР = Н

Следовательно, потеря устойчивости стального стержня произойдет, если продольная сила будет немного больше 640 Н.

ЗАДАНИЕ

При подготовке к лабораторной работе студент должен:

– иметь представление об устойчивых и неустойчивых формах равновесия, критической силе, гибкости стержня при продольном изгибе;

 – знать условие устойчивости центрально сжатых стержней, формулу Эйлера, формулу Ясинского для расчета критического напряжения;

  – уметь выполнять расчеты на устойчивость центрально сжатых стержней;

  – уметь правильно собрать установку для испытаний образца;

 – уметь правильно нагрузить образец и снять показания; 

 – ответить на контрольные вопросы;

  – правильно оформить отчет по лабораторной работе.

 

РАБОТА В ЛАБОРАТОРИИ

  При расчетах на устойчивость центрально сжатых стержней нужно знать модули упругости материала стержня (табл. 2).

 Таблица 2. Значения модулей упругости Е материалов

 Материал

Модуль упругости Е, Н/мм2 (МПа)

Сталь

(1,9…2,15) ∙105

Чугун серый

(0,8…1,5) ∙105

Медь техническая

(1,1…1,3) ∙105

Алюминий

(0,69…0,71) ∙105

Дерево вдоль волокон

(8,8…15,7) ∙103

  Порядок проведения работы

1. Приготовить стальной образец прямоугольного поперечного сечения, измерить его длину ℓ и размеры сечения b и h.

2. Определить геометрические характеристики поперечного сечения образца:

а) площадь А = b ∙ h;

б) минимальный осевой момент инерции 

в) минимальный радиус инерции 

3. В зависимости от способа закрепления концов стержня, определить коэффициент приведения длины m

4. Определить гибкость l стержня по формуле: l = 

5. По полученной гибкости рассчитать критическую силу FРКр по одной из формул: (10), (11) или (12).

6. Приготовить первый тип захватов (рис. 4) и установить в них образец.

 

  

F<Fкр F = Fкр

 Рис. 5 Рис. 6 

Первый тип захватов (первый способ закрепления концов стержня): нижний конец закреплен на шарнирно-неподвижной опоре, верхний – на шарнирно-подвижной (рис. 5). Второй тип захватов (второй способ закрепления концов стержня): нижний конец жестко заделан, верхний – на подвижной заделке (рис. 6).

7. Довести силу F до критической FЭКр путем постепенного увеличения числа грузов, приложенных к верхней опоре, и измерить ее значение.

8. Сравнить полученный результат FЭКр с теоретически найденным значением силы FРКр по формулам (1) или (11).

 FРКр / FЭКр = ?

9. Сделать выводы.

10. Повторить пункты 3…9 для других способов закрепления концов стержня (рис. 5).

11. Проделать опыты со стержнем из другого материала – деревянной линейкой.

 РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Площадь сечения стального стержня: Аст = _____ мм2

2. Минимальный осевой момент инерции сечения: Jmin = _____ мм4

3. Площадь сечения деревянного стержня: Ад = _____ мм2

4. Минимальный осевой момент инерции сечения: Jmin = _____ мм4

5. Коэффициент приведения длины для обоих стержней при первом способе закрепления концов m1 =

6. Коэффициент приведения длины для обоих стержней при втором способе закрепления концов m2 =

7. Гибкость стержней: lст1; lст2 – стального образца при первом и втором способах закрепления концов; lд1; lд1 – деревянного образца при первом и втором способах закрепления концов.

7. Критическая сила для стального образца при первом способе закрепления концов FЭКр =_____ Н. Теоретически найденное значение критической силы равно FРКр = ____ Н.

8. При втором способе закрепления концов стального образца критическая сила FЭКр = _____ Н, а теоретически рассчитанная имеет значение FРКр = ____ Н.

9. Критическая сила для деревянного образца при первом способе закрепления концов составила FЭКр =_____ Н. Теоретически найденное значение критической силы равно FРКр = ____ Н.

10. При втором способе закрепления концов деревянного образца критическая сила FЭКр = _____ Н, а теоретически рассчитанная имеет значение FРКр = ____ Н.

 ТАБЛИЦА РЕЗУЛЬТАТОВ

Материал

образца

Способ

закрепления

концов стержня

Теоретически рассчитанное значение критической силы, FРКр, Н

Экспериментально найденное

значение критической силы, FЭКр, Н

Отношение

FРКр / FЭКр

Сталь

!-й способ

2-й способ

Дерево

1-й способ

2-й способ

Примечание. При первом способе нижний конец стержня закреплен на шарнирно-неподвижной опоре, верхний – на шарнирно-подвижной. При втором способе нижний конец жестко закреплен, верхний – на подвижной заделке.

 

В Ы В О Д Ы

1. При первом способе закрепления концов стержня значение критической силы в четыре раза меньше, чем при втором.

2. Значение критической силы для стального стержня, при обоих случаях закрепления концов, больше, чем для деревянного.

3. Отношение значений критической силы, полученной теоретически и полученной экспериментально, мало отличаются друг от друга. Значит, работа проведена правильно.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 1. Что называется продольным изгибом стержня?

 2. Какие стержни следует рассчитывать на устойчивость?

 3. Какую силу при расчете на устойчивость называют критической?

4. Как записывается формула Эйлера для расчета критической силы? Укажите величины, в нее входящие и единицы их измерения.

5. Как записывается формула Ясинского?

6. Что такое радиус инерции сечения, чему он равен и в каких единицах измеряется?

7. Что называется гибкостью стержня?

8. От каких параметров стержня зависит предельная гибкость?

9. Гибкости трех стальных стержней соответственно равны: l1 = 35; l2 = 80;

 l3 = 150. Какими формулами нужно пользоваться для нахождения критических напряжений в каждом стержне?

9. Каковы пределы применимости формулы Эйлера?

10. В чем заключается расчет центрально сжатого стержня на устойчивость?

Техническая механика. Лабораторные работы, примеры решения задач