Курсовая работа Геометрическое черчение Проекционное черчение Изучение резьбовых соединений Соединение деталей Эскизы и рабочие чертежи деталей Техническая механика Контрольная работа №3 по инженерной графике

Типовые задачи по начертательной геометрии и методы их решений. Контрольная

СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СФЕР

Пересечение соосных поверхностей

Соосными поверхностями называют поверхности, имеющие общую ось. Две соосные поверхности вращения пересекаются друг с другом по окружностям (рис. 2.1). Причём, число окружностей равно числу точек пересечения очерковых меридианов поверхностей. При этом, если общая ось поверхностей вращения параллельна какой-нибудь плоскости проекций, то эти окружности будут проецироваться на данную плоскость в виде отрезков прямых (например, на плоскость П2), а на плоскость П1 – в виде окружностей.

В случае (рис. 2.2), если одной из соосных поверхностей вращения является сфера, а центр сферы находится на оси какой-нибудь поверхности вращения, то в их пересечении получается окружность – общая параллель. Это свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности вращения и положено в основу способа концентрических* сфер.

4.2.2. Способ концентрических сфер

Способ концентрических сфер можно применять для построения линии пересечения двух поверхностей, каждая из которых содержит семейство окружностей, по которым её могут пересекать концентрические сферы,

общие для двух поверхностей, то есть заданные поверхности должны быть поверхностями вращения.

Кроме того, заданные поверхности должны иметь общую плоскость симметрии, расположенную параллельно одной из плоскостей проекций. И, наконец, третье – оси заданных поверхностей должны пересекаться. Точка пересечения осей будет центром всех вспомогательных секущих сфер-посредников.

Пример 1. Построить линию пересечения m поверхностей  конуса

и тора, оси которых i и j пересекаются в точке O и параллельны плоскости проекций П2 (рис. 2.3).

Убедимся в том, что предлагаемая задача не может быть решена посредством вспомогательных параллельных плоскостей уровня, рассмотренных нами ранее (см. рис. 1.1). Действительно, в горизонтальных плоскостях уровня на поверхности конуса будем иметь семейство окружностей, а на поверхности тора – семейство кривых четвёртого порядка. Во фронтальных плоскостях уровня на поверхности конуса будем иметь семейство гипербол, а на поверхности тора – кривые четвёртого порядка. Поскольку в рассматриваемых плоскостях уровня поверхности не содержат одних только простейших линий (прямые и окружности), то эти плоскости нельзя использовать в качестве плоскостей-посредников.

 Однако, две плоскости при решении данного примера могут и должны быть использованы. Одной из таких плоскостей будет плоскость, проходящая через оси заданных поверхностей, то есть общая плоскость симметрии α (α1), параллельная плоскости П2 (рис. 2.3).

Плоскость α, являясь плоскостью главного меридиана заданных поверхностей, рассечёт обе поверхности по очерковым образующим: конус – по образующим SQ и ST, а тор – по линиям k и k’. Пересечение главных меридианов поверхностей определяет опорные точки линии пересечения C и D: S2T2∩k2=(×)D2; S2T2∩=(×)C2. Напомним, что точки C и D принадлежат плоскости главного меридиана, а это значит что горизонтальные проекции точек C(C1) и D(D1) должны принадлежать горизонтальной проекции плоскости α (α1), то есть (:) C1, D1Îα1.

  Вторая плоскость уровня, которую можно использовать при решении задачи, будет плоскость β (β2), параллельная плоскости П1 и проходящая через ось j. Такая плоскость пересечёт тор по линиям n и n′ – очерковым образующим тора на плоскости П1, а конус – по окружности e. Радиус окружности – re. Горизонтальные проекции K1 и L1 точек K и L получены в местах пересечения горизонтальной проекции окружности e1 (re) с горизонтальными проекциями линий n1 и : e1∩=(×)K1; e1∩n1=(×)L1. В точках K1. Легко увидеть, что в предлагаемой задаче исходные поверхности удовлетворяют всем требованиям, которые позволяют использовать сферы-посредники для построения линии пересечения конуса и тора, а именно, конус и тор – поверхности вращения, их оси пересекаются и параллельны плоскости проекций П2.

Вспомогательные сферы-посредники переменного радиуса будут иметь общий центр – точку O пересечения осей i и j заданных поверхностей ((×) O = i ∩ j ). На каждой из этих сфер будут располагаться окружности – простейшие линии каркаса тора и конуса.

Определим границы изменения радиусов сфер-посредников, если область их значений выражается неравенством: .

Определение сферы минимального радиуса. Сфера минимального радиуса (Rmin) должна быть вписанной в одну поверхность и пересекать другую. Обратимся к рис. 2.3. Из чертежа видно, что в данном примере сфера минимального радиуса будет вписана в поверхность конуса. Для того чтобы определить радиус сферы, необходимо из точки O2 провести нормаль к образующей конуса. Отрезок│O2N2│ – радиус минимальной сферы, которая может быть использована при решении задачи. Прямая t2 представляет собой фронтальную проекцию окружности t радиуса rt – линии касания поверхности конуса Ф1 со сферой минимального радиуса. Очерком сферы минимального радиуса на плоскость П2 будет окружность. Сфера минимального радиуса, как соосная с поверхностью тора, пересечёт тор по окружности a, которая проецируется на П2 в отрезок a2. В пересечении окружностей t и a определим точки A и B, принадлежащие заданным поверхностям: t2∩a2=(:)A2, B2, (A2≡B2).

Определение сферы максимального радиуса. В общей плоскости симметрии α׀׀П2 (рис. 2.3) расположены фронтальные очерковые линии поверхностей тора и конуса, которые на П2 пересекаются в точках C2 и D2. Расстояние от точки O2 до наиболее удалённой точки пересечения очерковых образующих, в данном примере точка C2, будет радиусом наибольшей сферы – Rmax, так как │O2C2│$│O2D2│, то есть Rmax=│O2C2│.

Для определения промежуточных точек и с учётом неравенства  проведём вспомогательную сферу Фi произвольного радиуса Ri с центром в точке O2 = i2 ∩ j2, которая спроецируется на П2 в окружность l2. Будучи соосной с каждой из двух заданных поверхностей, вспомогательная сфера Фi пересечёт поверхность тора Ф2 по окружности b(Ф2∩Фi=b), а поверхность конуса Ф1 – по окружности f (Ф1∩Фi=f). Окружности b и f спроецируются на плоскость П2 в отрезки прямых линий b2 и f2,, перпендикулярные соответствующим осям поверхностей вращения.

Искомые точки E и F линии пересечения поверхностей будут находится в местах пересечения окружностей b и f, то есть на  П2 в пересечении отрезков прямых b2 и f2 ((:)E2F2=b2∩f2). Построение горизонтальных проекций промежуточных точек не вызывает затруднений и осуществляется посредством горизонтальных проекций окружностей (линий каркаса) поверхности конуса Ф1 (см. рис. 2.3 – построение горизонтальных проекций точек A(A1), B(B1), E(E1) и F(F1)). Искомая линия пересечения m= заданных поверхностей вращения представляет собой пространственную кривую, не имеющую особых точек. Поэтому, полученные точки должны быть последовательно соединены плавной кривой линией с учётом видимости заданных поверхностей. Все точки линии m=, которые на плоскости П2 находятся выше плоскости β (β2) будут на плоскости П1 видимыми, а точки, которые находятся ниже плоскости β (β2), на плоскости П1 будут невидимыми. На рис. 2.4 показано наглядное изображение задачи 2.1.

В тех случаях, когда оси поверхностей вращения не параллельны плоскости проекций, применению способа концентрических сфер должно предшествовать преобразование эпюра.

 

 

 

 


На главную