Примеры решения типовых задач по электротехнике Метод узлового напряжения Расчет цепей переменного тока Пример расчета трехфазной цепи Лабораторная работа

Лабораторные работы по электротехнике Оформление защита

Метод узлового напряжения

Этот метод является частным случаем метода узловых потенциалов и применяется для расчета схем имеющих только два узла. Рассмотрим конкретный пример (рис.1.13).

Если бы было известно узловое напряжение U12, то токи определились бы по закону Ома

I1=(-U12+E1)/R1; I2=(U12+E2)/R2; I3= U12/R3.

Для определения U12 = j1 - j2  используем МУП. Если принять j2=0, то U12=j1, а

j1(g1+g2+g3+0)=E1g1-E2g2+J , откуда 

j1=U12= (E1g1 -E2g2+J)/(g1+g2+g3).

В общем случае (для любой схемы с двумя узлами)

U12=(åEg +åJ)/åg,

причем в обеих суммах числителя слагаемые берутся с плюсом, если ЭДС источника направлена  к тому узлу, индекс которого стоит первым у узлового напряжения.

Метод контурных токов (МКТ)

Это второй метод расчета сложных цепей. Он основан на законах Кирхгофа, по этому методу составляется в-у+1 уравнение, где в - число ветвей схемы. Для выяснения сущности метода рассмотрим конкретный пример схемы рис.1.14.

Составим для схемы уравнения по законам Кирхгофа. По первому (для независимых узлов):

-I1-I3+I4=0,  I1+I2+J=0; -I4-I5-J=0.

По второму (для независимых контуров): 

I1R1-I3R3-I2R2=E1-E2;  I3R3+I4R4-I5R5=0.

Из уравнений, составленных по 1-му закону Кирхгофа, выразим токи I2, I3, I5 

I2 =-I1–J; I3=-I4+I1; I5=-I4-J и подставим их в уравнения 2-го закона Кирхгофа.

Получается I1(R1+R2+R3)-I4R3-JR5=E1-E2 ; -I1R3+I4(R3+R4+R5)+JR5=0.  (1) 

Имеем два уравнения с двумя неизвестными, решив которые определяем I1, I4, а через них и остальные токи. Но самое главное, что последние уравнения можно записать непосредственно по схеме. Для этого предположим, что в каждом контуре замыкается свой, так называемый контурный ток, связь которого с фактическими токами ветвей следующая:

 I1=II ; I2=-II-IIII ; I3=-II+III ; I4=III ; I5=-III-IIII ; J=IIII. (2)

Эти формулы подставляем в уравнения, составленные по 2-му закону Кирхгофа, и получаем

IIR1-(-II +III)R3-(-II-IIII)R2=E1-E2; (-II +III)R3+IIIR4-(-III-IIII)R5=0, или

 1I(R1+R2+R3)-IIIR3-IIIIR5=E1-E2; -IIR3+III(R3+R4+R5)+IIIIR5=0.  (3)

Сравнивая (3) и (1) с учетом (2), замечаем, что эти уравнения абсолютно одинаковы. Это и доказывает справедливость введения в расчет контурных токов.

При расчете цепей МКТ наиболее важным вопросом является выбор независимых контуров. Для их безошибочного определения рекомендуется воспользоваться топологическими понятиями. Деревом графа или схемы называется совокупность ветвей, соединяющих все узлы, но не образующих ни одного контура ( дерево состоит из у-1 ветвей). Остальные ветви, дополняющие дерево до полного графа называются ветвями связи. Контуры будут независимым, если в каждый из них будет входить одна и только одна ветвь связи. Желательно следовать рекомендациям: рекомендация 1: контурные токи желательно выбирать совпадающие с токами ветвей связи; рекомендация 2: в состав дерева рекомендуется включать ветви, не содержащие сопротивлений. Ветви с источниками тока обязательно должны быть ветвями связи.

Для схемы рис.1.14 на рис.1.15 изображены два варианта возможных деревьев, причем составленным выше уравнениям соответствует вариант а).


Порядок расчета методом контурных токов 1. Выбираем дерево схемы и с его помощью определяем независимые контуры. 2. Считаем, что в каждом контуре протекает свой контурный ток, направление которого рекомендуется выбирать совпадающим с током ветви связи.

3. Составляем систему уравнений для контурных токов.

4. Решая полученную систему, находим контурные токи.

5. Фактические токи ветвей электрической цепи определяем путем алгебраического суммирования соответствующих контурных токов.

Для произвольной электрической цепи, имеющей N независимых контуров, система уравнений для контурных токов имеет вид.

IIR11 + IIIR12 + IIIIR13 + .....+ INR1N = EI;

IIR21 + IIIR22 + IIIIR23 +.....+ INR2N = EII;

 IIR31 + IIIR32 + IIIIR33 +.....+ INR3N = EIII ; (4)

 ……………………………..

IIRN1 + IIIRN2 + IIIIRN3 + ...+ INRNN = EN.

В этих уравнениях: Rkk- cобственное сопротивление к-го контура (сумма всех сопротивлений, входящих в контур к); Rkl- общее (взаимное) сопротивление контуров k и l (сумма сопротивлений, являющихся общими для контуров k и l ), причем Rkk всегда положительно, а Rkl положительно только тогда, когда в этом сопротивлении k-й и l-й контурные токи совпадают по направлению, в противном случае Rkl отрицательно. В правой части уравнений фигурируют контурные ЭДС, представляющие собой алгебраические суммы всех ЭДС, входящих в рассматриваемый контур.

Если систему уравнений (4) решать с помощью определителей, то выражение для k-го контурного тока имеет вид

Ik= EIAk1/ D + EIIAk2 /D + EIIIAk3/ D + ..... + ENAkN/D , (5)

где D - главный определитель системы уравнений (4)

 R11 R12 R13 … R1N

D=  R21 R22 R23 … R2N

 R31 R32 R33 … RNN

 Akl - алгебраическое дополнение главного определителя, которое получается из D путем вычеркивания k-го столбца, l-й строки и умножения оставшейся части на (-1)kl .

Принцип наложения

По формуле (5) можно рассчитывать не только контурные, но и фактические токи ветвей. Для этого достаточно контуры выбрать таким образом, чтобы по той ветви, в которой мы хотим найти фактический ток, замыкался только один контурный ток, которому и будет равен фактический ток. Если в этой формуле заменить контурные ЭДС соответствующими суммами фактических ЭДС ветвей и собрать слагаемые, содержащие фактические ЭДС, то получим

Ik= E1Dk1/ D + E2Dk2 /D + E3Dk3/ D + ..... + EВDkВ/D , (6)

где  Dkl – некоторые суммы алгебраических дополнений D.

Формула (6) говорит о том, что ток любой ветви состоит из его составляющих, создаваемых каждой фактической ЭДС в отдельности. Это положение получило название принципа наложения, на котором основан расчетный метод – метод наложения.

Порядок расчета методом наложения

1. Поочередно оставляем в схеме по одному источнику, считая ЭДС остальных источников равной нулю, но оставляем в схеме их внутренние сопротивления (если они имеются).

2. Любым методом, но чаще всего по законам Ома и Кирхгофа, рассчитываем токи от действия каждого источника в отдельности. 

3. Фактические токи ветвей определяем путем алгебраического суммирования составляющих, создаваемых каждым источником в отдельности.

Методом наложения можно рассчитывать не только токи, но и напряжения, однако нельзя рассчитывать мощности, поскольку они являются квадратичной функцией тока.

Свойствo взаимности

Пусть в произвольной электрической цепи единственный источник ЭДС действует ветви с Rm в направлении от b до а и в ветви с Rl создает ток Il, направленный от с к d (рис1.16). Тогда этот же источник, будучи переключенным в ветвь с Rl и действуя  в направлении от с к d в ветви с Rm создаcт ток, направленный от b к а и равный Il. Доказательство: пусть ветвь с Rm входит в состав только контура m, а ветвь с Rl – только в контур l, тогда по формуле (5) для первой схемы Il=EmAml/D, а для второй схемы Im=ElAlm/D. Поскольку D симметричен относительно главной диагонали, то Aml = Alm. Следовательно, Im = Il, что и требовалось доказать.

Законы Кирхгофа Все электрические цепи подчиняются законам Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа: для любого узла электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю - åI =0 (причем токам, направленным к узлу, принято приписывать знак минус, а токам, вытекающим из узла наоборот +). Он выражает собой закон сохранения материи применительно к электрическим цепям. Второй закон Кирхгофа: для любого контура электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в контур. åIr=åE. Причем как в åIr, так и в åЕ слагаемые берутся с +, если направление напряжения или ЭДС совпадает с произвольно выбранным направлением обхода контура. Данный закон выражает собой закон сохранения энергии применительно к электрическим цепям. Существует вторая форма записи этого же закона åUв = 0, где Uв – напряжения на ветвях, входящих в контур.

Преобразование электрических цепей Преобразование - это замена схемы одного вида схемой другого вида, но эквивалентной. Рациональное преобразование приводит к уменьшению числа ветвей или (и) узлов, а значит и к уменьшению числа уравнений, определяющих состояние цепи. Во всех видах преобразования необходимо выполнять условие эквивалентности, т.е. условие неизменности напряжений и токов в той части цепи, которая не затронута преобразованием. Если преобразуется пассивная часть цепи, т.е. не содержащая источников энергии, то мощность в исходной схеме и преобразованной одинаковы. При преобразовании активной части цепи (содержащей источники) указанные мощности могут отличаться.

Эквивалентные преобразования схем. Во всех случаях преобразования замена одних схем другими, им эквивалентными, не должна привести к изменению токов или напряжений на участках цепи, не подвергшихся преобразованию.

Три резистора с сопротивлением R=10 Ом соединены последовательно. Определить эквивалентное сопротивление цепи. Как изменится эквивалентное сопротивление цепи, если эти резисторы соединить параллельно?

В цепи R1=10 Ом, R2=R3=R5=25 Ом, R4=50 Ом, U=120 В. Определить токи в ветвях цепи и показание вольтметра, включенного между точками c и d, считая, что его сопротивление во много раз превышает сопротивление каждого из элементов цепи

Источник ЭДС Е=100 В с внутренним сопротивлением R0=50 Ом замкнут на внешний резистор, сопротивление R которого меняется от нуля до бесконечности


построить боулинг клуба.
Расчет цепей постоянного тока