Примеры решения типовых задач по электротехнике Метод узлового напряжения Расчет цепей переменного тока Пример расчета трехфазной цепи Лабораторная работа

Лабораторные работы по электротехнике Оформление защита

Преобразование электрических цепей (общие положения)

Преобразование - это замена схемы одного вида схемой другого вида, но эквивалентной. Рациональное преобразование приводит к уменьшению числа ветвей или (и) узлов, а значит и к уменьшению числа уравнений, определяющих состояние цепи.

Во всех видах преобразования необходимо выполнять условие эквивалентности, т.е. условие неизменности напряжений и токов в той части цепи, которая не затронута преобразованием. Если преобразуется пассивная часть цепи, т.е. не содержащая источников энергии, то мощность в исходной схеме и преобразованной одинаковы. При преобразовании активной части цепи (содержащей источники) указанные мощности могут отличаться.

Замена группы параллельно включенных ветвей одной эквивалентной

Если в схеме имеется одна или несколько групп параллельно включенных ветвей, то ее расчет существенно упрощается, если каждую из них заменить эквивалентными ветвями. Процесс замены группы параллельно включенных ветвей одной эквивалентной рассмотрим на конкретном примере. Пусть в схеме имеется группа, состоящая из 4 параллельных ветвей, которую выделим отдельно. Остальную часть цепи, в общем случае содержащую источники энергии, будем считать «черным ящиком» (рис.1.17,а).

Для схемы рис.1.17,а по закону Ома имеем

I1= (U+E1)/R1= (E1+U)g1; I2= (-U+E2)/R2= (-U+E2)g2; I3= U/R3 = Ug3. 

По первому закону Кирхгофа: -I+I1-I2+I3-J=0;  I=I1-I2+I3-J; I=(U+E1)g1-(-U+E2)g2+Ug3 –J;

I=U(g1+g2+g3) + E1g1 - E2g2 – J.

Для схемы рис.1.17,б: I = (U+E)/R= Ug+Eg.

Сравнение двух последних формул дает: g=g1+g2+g3; Eg=E1g1-E2g2-J; E=(E1g1-E2g2 –J)/g.

В общем случае формулы для расчета параметров эквивалентной ветви имеют вид:

R = 1/g;  g = ågk; Е = (åEkgk+åJk)/g.

В последней формуле в числителе слагаемые берутся с плюсом, если ЭДС ветви направлена к тому же узлу, что и эквивалентная ЭДС.

Преобразование пассивных трехполюсников

Соединение 3-х сопротивлений, имеющее вид 3-х лучевой звезды (рис.1.18,а) называется соединением «звезда».

Соединение 3-х сопротивлений при котором они образуют стороны треугольника (рис.1.18,б) называется соединением «треугольник».

Звезда и треугольник вместе взятые называются трехполюсниками. Они бывают активные и пассивные. Пассивные трехполюсники преобразуются друг в друга.

Выведем формулы преобразования пассивных трехполюсников, используя особые режимы их работы. Схемы должны быть эквивалентны во всех режимах работы в том числе и при обрыве проводника, подключающего полюс 3. В этом случае должны быть одинаковыми входные сопротивления звезды и треугольника относительно полюсов 1 и 2, т.е.

R1 + R2 = R12(R13+R23)/(R12+R13+R23). (1)

Соответственно при обрыве проводника, подключающего полюс 2:

R1 + R3 = R13(R12+R23)/(R12+R13+R23), (2)

И при обрыве проводника, подключающего полюс 1:

R2 + R3 = R23(R12+R13)/(R12+R13+R23).  (3)

Если систему уравнений (1)-(3) решить относительно сопротивлений R1 – R3, то получим формулы преобразования треугольника в звезду:

R1=R12R13 / (R12+R13+R23);

R2=R12R23 / (R12+R13+R23);

R3=R13R23 / (R12+R13+R23).

Если же систему уравнений (1)-(3) решить относительно сопротивлений R12 – R23, то получим формулы преобразования звезды в треугольник:

R12=R1+R2+R1R2 /R3; R13=R1+R3+R1R3 /R2; R23=R2+R3+R2R3 /R1.

В случае, когда R1=R2=R3=R* и соответственно R12=R13=R23=RÑ , формулы преобразования принимают вид: RÑ = 3R*.

Метод эквивалентного генератора (МЭГ)


Данный метод применяется, когда требуется определить ток только в одной ветви. Использование в этом случае МКТ или МУП является нерациональным. Ветвь, в которой требуется рассчитать ток, будем называть искомой и она подключается к остальной цепи двумя зажимами (полюсами). Остальную часть цепи, к которой подключается искомая ветвь, принято называть двухполюсником. Различают активные (содержащие источники) и пассивные (не содержащие источников) двухполюсники. Пассивный двухполюсник  состоит только из сопротивлений и поэтому может лишь потреблять электрическую энергию, поэтому он может быть заменен его входным сопротивлением Rв, которое можно определить экспериментальным путем или рассчитать по схеме двухполюсника. Для экспериментального определения Rв необходимо на вход двухполюсника подать напряжение и измерить входной ток. Тогда Rв = U/I. Для расчета Rв необходимо схему двухполюсника «свернуть» (преобразовать) относительно входных зажимов.

Покажем, что для расчета тока искомой ветви (рис.1.19,а) активный двухполюсник, к которому она подключается, может быть заменен эквивалентной схемой, состоящей из ЭДС и сопротивления. С этой целью разомкнем искомую ветвь (рис.1.19,б). Тогда на разомкнутых зажимах 1, 2 появится напряжение, которое принято называть напряжением холостого хода Uх и которое можно либо определить экспериментальным путем, либо рассчитать. В дальнейшем будем считать Uх известным. Включим между зажимами 1 и 2 ЭДС Е’, которая по величине в точности равна Uх, а действует в противоположном направлении (рис.1.19,в). В этой схеме по искомой ветви ток не течет поскольку потенциалы всех точек этой схемы такие же как и в схеме рис.1.19,б, а, следовательно, и токи такие же. Схема рис.1.19,в отличается от исходной наличием Е’. Поэтому включим еще одну ЭДС Е=Uх (схема рис.1.19,г), в которой по искомой ветви течет такой же ток, как и в исходной схеме, поскольку потенциалы т. 1 и 2 одинаковы и эти точки могут быть соединены между собой. Искомый ток в схеме рис.1.19,г можно определить по методу наложения. Но все ЭДС активного двухполюсника совместно с Е’ в искомой ветви тока не создают (см. схему рис.1.19,в). Таким образом, для его определения достаточно учесть действие только одной единственной ЭДС Е (схема рис.1.19,д). Пассивный двухполюсник в схеме рис.1.19,д может быть заменен его Rв (схема рис.1.19,е). Если сравнить схемы рис.1.19,а и рис.1.19,е, то можно заметить, что на месте активного двухполюсника образовалась схема, состоящая из Е=Uх и Rв. Для схемы рис.1.19,е  можно записать

I = Uх /(R + Rв)

То, что мы разобрали, представляет собой теорему об эквивалентном генераторе: если активный двухполюсник, к которому подсоединена искомая ветвь, заменить ЭДС E=Uх и сопротивлением, равным входному сопротивлению пассивного двухполюсника (образованного из активного) относительно зажимов искомой ветви, то ток этой ветви не изменится .

Порядок расчета цепей МЭГ

1. Размыкаем искомую ветвь и указывает направление Uх (оно должно быть таким же как и направление искомого тока).

2. Любым методом, но чаще всего по 2-му закону Кирхгофа рассчитываем Uх.

3. Относительно зажимов искомой ветви определяем входное сопротивление пассивного двухполюсника, образованного из активного.

4. Рассчитываем искомый ток по формуле : I = Uх /(R + Rв).

Некоторый интерес представляет частный случай, когда искомая ветвь не имеет сопротивления (R=0). Ток, имеющий место в этом случае, называется током короткого замыкания (Iк) и он равен Iк=Uх/Rв. Тогда Rв=Uх/Iк, т.е. Rв можно определить, измерив опытным путем Uх и Rв.

Пример: В схеме рис.1.20,а определить I5, если: U=200 В;  R1=R4= 10 Oм ; R2=R3=15 Oм ; R5=8 Oм.

Решение

Разомкнем искомую ветвь и укажем направление напряжения холостого хода (рис.1.20,б).

По второму закону Кирхгофа имеем:

Uх – I3хR2 + I1хR1 = 0 или Uх = I3хR2 - I1хR1.

По закону Ома I1х = U/(R1 + R2) = 200/(10+15) = 4A;

I3х = U/(R3 + R4) = 200/(15+10) = 4A.

Тогда  Uх = I3хR2 - I1хR1 = 4*15 – 1*10 = 20В.

Входное сопротивление согласно схеме пассивного двухполюсника:

Rв = R1*R2/(R1+R2) + R3*R4/(R3+R4) = 10*15/25 +15*10/25 = 12 Ом.

Следовательно, I5 = Uх/(Rв + R5) = 20/(12+8) = 1A.

Потенциальная диаграмма

Потенциальной диаграммой называют график распределения потенциала вдоль участка или контура электрической цепи. Она строится после расчета всех токов и одно из ее назначений – это проверка правильности расчета токов. Построение диаграммы начинается с какой-либо точки, потенциал которой рекомендуется принимать нулевым. Диаграмму строят в прямоугольной системе координат причем по оси абсцисс откладывают сумму сопротивлений, начиная с исходной точки, а по оси ординат – потенциалы. Приведем пример. Для контура 1-2-3-4-5-6 схемы рис.1.21,а выразим потенциалы всех точек, начиная с первой.

j1 = 0; j2 = j1 - I4R4 = - I4R4; j3 = j2 + E1; j4 = j3 - I1R1; j5 = j4 - I3R3; j6 = j5 - E2; j1 = j6+I2R2 = 0; (проверка).


Примерный вид потенциальной диаграммы приведен на рис.1.21,б. С помощью потенциальной диаграммы можно определить напряжение между любыми точками схемы и это является вторым назначением потенциальной диаграммы.

Баланс мощности

В любой электрической цепи источники отдают энергию, а приемники точно такую же энергию потребляют. Поэтому SРис = SРпр . В сравнении указанных мощностей и состоит баланс мощности. При определении SРис могут иметь место следующие варианты:


Причем в последнем случае UJ - это напряжение между той точкой, к которой ток J притекает, и той, из которой он вытекает. 

Приемниками энергии являются сопротивления и потребляемую ими мощность обычно рассчитывают по формуле Р = UI = I2R.


Виза в Болгарию на www.centr-viz.ru.
Расчет цепей постоянного тока